Effetti di una palla di stucco

Effetti di una palla di stucco

Dinamica Rotazionale

Effetti di una palla di stucco

Dinamica Rotazionale

Una sbarra sottile ed omogenea di lunghezza ℓ = 1 m e massa M =1 Kg, disposta verticalmente sotto l'azione del suo peso, è libera di ruotare con attrito trascurabile attorno al suo estremo A (Figura 7.9). Una palla di stucco, avente massa m = 0,1 Kg e velocità v₀ perpendicolare alla sbarra, la colpisce nel suo estremo B, restando attaccata ad essa. Sapendo che la sbarra, al momento dell' urto, è ferma e che | v₀ | = 10 m/s, determinare l'angolo massimo θ di cui essa ruota prima di iniziare ad oscillare intorno al punto A [ Momento d'inerzia della sbarra I= ¹/₃ M ℓ² ].

Poiché prima dell’urto l’unica forza esterna è il peso della sbarra il cui vettore è parallelo al vettore AB = ℓ, il momento meccanico rispetto al punto A è nullo ed il sistema può considerarsi isolato. Vale dunque il principio di conservazione del momento angolare:

L(iniziale) = L(finale)                             (1)

Il momento angolare iniziale Li è soltanto quello della palla di stucco perché la sbarra è ferma. Osservando che v₀ ⊥ ℓ (quindi sen90° = 1) scriveremo:

L_i = m v₀ ℓ                             (2)

Il momento angolare finale Lf è la somma di quello posseduto dalla palla di stucco dopo l’urto e di quello acquistato dalla sbarra. Dopo aver indicato con ω la velocità angolare del sistema, detto I il momento d’inerzia della sbarra rispetto all’asse di rotazione passante per A e dopo aver osservato che il momento d’inerzia della palla di stucco (considerata puntiforme) è I_P = m ℓ² otteniamo:

L_f = m ℓ² ω + I ω                     (3)

Sostituendo i valori di L_i ed L_f, forniti rispettivamente dalla (2) e dalla (3), nell’equazione (1), ricaviamo:

m v₀ ℓ = m ℓ² ω + I ω                   (4)

Dal testo sappiamo che I = (1/3) M ℓ²; pertanto la (4) ci consente di dedurre ω:

ω = _{m v0 ℓ}/^{m ℓ2 + I} = _{3 m v0}/^{ℓ (3m + M)}         (5)

Per determinare ora l’angolo massimo θ di cui ruota la sbarra con la palla di stucco attaccata, possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia osservando che, quando lo spostamento angolare θ è massimo, l’energia rotazionale del sistema E_R è stata integralmente trasformata in energia potenziale E_P. Ricordando dalla teoria che l’espressione generale di E_R è: E_R = (½) I ω² e che in questo particolare caso deve essere:

E_R = E_R(stucco) + E_R(sbarra)