Effetti di una palla di stucco

Effetti di una palla di stucco

Dinamica rotazionale

Effetti di una palla di stucco

Dinamica rotazionale

Una sbarra sottile e omogenea di lunghezza l = 1 m e massa M = 1 Kg, disposta verticalmente sotto l’azione del suo peso, è libera di ruotare con attrito trascurabile attorno al suo estremo A (Figura 7.9). Una palla di stucco, avente massa m = 0,1 Kg e velocità v₀ perpendicolare alla sbarra, la colpisce nel suo estremo B, restando attaccata ad essa.

Sapendo che la sbarra, al momento dell’urto, è ferma e che |v₀| = 10 m/s, determinare l’angolo massimo θ di cui essa ruota prima di iniziare ad oscillare intorno al punto A [ Momento d'inerzia della sbarra I = 1/3 M l² ].

(Figura 7.9)

Poiché prima dell'urto l'unica forza esterna è il peso della sbarra il cui vettore è parallelo al vettore AB = l, il momento meccanico rispetto al punto A è nullo ed il sistema può considerarsi isolato. Vale dunque il principio di conservazione del momento angolare:

L(iniziale) = L(finale) (1)

Il momento angolare iniziale Li è soltanto quello della palla di stucco perché la sbarra è ferma. Osservando che v0 l (quindi sen90deg = 1) scriveremo:

Li = m v0 l (2)

Il momento angolare finale Lf è la somma di quello posseduto dalla palla di stucco dopo l'urto e di quello acquistato dalla sbarra. Dopo aver indicato con w la velocità angolare del sistema, detto I il momento d'inerzia della sbarra rispetto all'asse di rotazione passante per A e dopo aver osservato che il momento d'inerzia della palla di stucco (considerata puntiforme) è Ip = m l² otteniamo:

Lf = m l² w + I w (3)

Sostituendo i valori di Li ed Lf, forniti rispettivamente dalla (2) e dalla (3), nell'equazione (1), ricaviamo:

m v0 l = m l² w + I w (4)

Dal testo sappiamo che I = (1/3) M l²; pertanto la (4) ci consente di dedurre w:

w = (m v0 l) / (m l² + I) = 3 m v0 / l(3m + M) (5)

Per determinare ora l'angolo massimo theta di cui ruota la sbarra con la palla di stucco attaccata, possiamo applicare il principio di conservazione dell'energia osservando che, quando lo spostamento angolare theta è massimo, l'energia rotazionale del sistema E_R è stata integralmente trasformata in energia potenziale E_P. Ricordando dalla teoria che l'espressione generale di E_R è: E_R = (1/2) I w² e che in questo particolare caso deve essere:

E_R = E_R (stucco) + E_R (sbarra)