Meccanica Quantistica - esercizi

1. Un'azienda deve affrontare due problemi logistici interconnessi

Da una parte deve decidere dove localizzare d depositi su un territorio suddiviso in r regioni. Dall'altra vuole determinare il piano distributivo sull'orizzonte temporale considerato, decidendo per ciascuna regione e ciascun deposito la quantità di merce consegnata; in altre parole si vuole determinare la quantità di merce che viene mandata dal deposito i alla regione j.

Il territorio in considerazione è definito dalla porzione del piano che soddisfa le m disequazioni g(x, y) ≤ 0, dove quindi y ∈ℜ³. Per ogni regione sono note le coordinate (a_j, b_j) in cui avviene la consegna e la quantità Q_j di merce richiesta.

Inoltre è noto che ogni deposito ha una capacità D_j. Sapendo che il costo unitario di trasporto è proporzionale al quadro della distanza percorsa per portare la merce dal deposito i alla regione j, formulare il problema che permette di localizzare i depositi in modo da minimizzare i seguenti costi di trasporto.

Le variabili del problema sono quindi: per ogni deposito le coordinate della posizione dove viene localizzato e le quantità di merce che vengono mandate dal deposito j a ogni regione.

2. Mostrare che la funzione f(x, y) = x⁵ + (y − x²)² ha un solo punto stazionario

Mostrare che la funzione f(x, y) = x⁵ + (y − x²)² ha un solo punto stazionario e calcolarlo: sia x̅.

Mostrare quindi che in x̅ sono soddisfatte le condizioni necessarie di minimo del secondo ordine, ma non quelle sufficienti.

Mostrare infine che x̅ non è un punto di minimo, esaminando la funzione in punti del tipo x = -c, y = c². La funzione f è convessa su ℜ²?

3. Si consideri il problema di ottimizzazione

Si consideri il problema di ottimizzazione:

• Min f(x, y)
• X − y ≤ 0
• X ≥ 0

Dove la funzione obiettivo f è la stessa dell'esercizio precedente. Scrivete le condizioni di KKT e verificate che nell'origine sono soddisfatte sia le condizioni di KKT che quelle sufficienti di minimo del secondo ordine.

Disegnate il cono tangente all'insieme nell'origine.

4. Si consideri il problema di PL

• Min 3x₁ − 2x₂ + 4x₃
• X₁ + x₂ + x₃ ≤ 10
• X₁, x₂, x₃ ≥ 0

Giustificate il fatto che questo problema ha una soluzione ottima globale. Posso affermare che il duale di questo problema ha una soluzione ottima: perché?

Scrivete quindi il duale del problema di PL dato.