Meccanica quantistica 2

Capitolo 1: Dinamica quantistica

2.1 Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger

Operatore di evoluzione temporale

Esprime l’evoluzione di uno stato nel tempo:

Û(t,t₀) |a,t₀> = |a,t>

È produce traslazioni nel tempo, quindi si possono richiedere le stesse proprietà dell’operatore di traslazione spaziale:

|a,t₀> |a,t₀> = 1 ⇒ = 1 ⇒ = Û⁺(t,t₀) Û(t,t₀) isometrico

Û(t₃,t₁)Û(t₂,t₀) = Û(t₃,t₀)

Û(t,t₀) = f(-(t-t₀)) ⇒ Û(t,t₀) = f(-(t-t₀)) (È invertibile)

Û(t₀,t₀) = lim_Δt→0 Û(t₀+Δt,t₀) = 1̂

Tutte queste proprietà sono soddisfatte da: Û(t₀+Δt,t₀) = 1̂ - i Ȟ̂Δt , Ȟ̂ = Ĥ̂

A quale osservabile bisogna far corrispondere Ȟ̂? L'energia:

Ȟ̂ = Ĥ̂

Ĥ̂ è l’operatore hamiltoniano quantistico.

Per far tornare il tutto dimensionalmente: Û(t₀+Δt,t₀) = 1̂ - i Ĥ̂Δt/ħ

Equazione di Schrödinger

Û(t+Δt,t₀) - Û(t+Δt,t)Û(t,t₀) = Û(t,t₀) - i/ħ Ĥ̂Û(t,t₀)

in ∂/∂t Û(tₚ,t₀) = Ĥ̂Û(t,t₀)

Û(t₀,t₀) = 1̂ Condizione iniziale

in ∂/∂t Û(t,t₀)|a,t₀> = Ĥ̂Û(t,t₀)|a,t₀> - iħ ∂/∂t |a,t> = Ĥ̂|a,t>

|a,t> = Û(t,t₀)|a,t₀> Supposto noto

Capitolo 1: Dinamica quantistica

2.1 Evoluzione temporale ed equazione di Schrödinger

Operatore di evoluzione temporale

Esprime l’evoluzione di uno stato nel tempo:

∬(t,t₀)|a,t₀> = |a,t> , |a,t>

∬ produce traslazioni nel tempo, quindi si possono richiedere le stesse proprietà dell’operatore di traslazione spaziale:

• <a,t₀|a,t₀> = 1 ⇒ <a,t₀|a,t> = 1 ⇒ <a,t₀|∬^†(t,t₀)∬(t,t₀)|a,t₀> = ∬^†(t,t₀) = ∬^-1 , ∬(t,t₀) isometrico
• ∬(t₃,t₁)∬(t₁,t₀) = ∬(t₃,t₀)
• ∬(t₀,t) = f(-(t-t₀)) ⇒ ∬(t₀,t) = f(-(t-t₀)) (è invertibile)
• ∬(t₀,t₀) = lim_Δt→0 ∬(t₀+Δt,t₀) = Î

Tutte queste proprietà sono soddisfatte da: ∬(t₀+Δt,t₀) = Î - i Î Δt , Î = Î^†

A quale osservabile bisogna far corrispondere Î? L’energia:

Î = Î̂

Î̂ è l’operatore hamiltoniano quantistico.

Per far tornare il tutto dimensionalmente: ∬(t₀+Δt,t₀) = Î - iÎΔt ⁄ ℏ

Equazione di Schrödinger

∬(t₀+Δt,t₀) - ∬(t₀+Δt,t)∬(t,t₀) = ∬(t,t₀) - i ⁇ Î∬(t,t₀)

in _Δt ∬(t₀+Δt,t₀) - ∬(t,t₀) = Î∬(t,t₀)

∬(t₀,t₀) = Î condizione iniziale

in _∬' ∬(t,t₀)|a,t₀> = Î̂∬(t,t₀)|a,t₀> → -i⁇ _∬|a,t> = Î̂∬|a,t> eq. di Schrödinger per iket

|a,t>=|a,t₀>, supposto noto

La soluzione dell'equazione di Schrödinger per Ĥ non ha una forma semplice, ma vi sono alcuni casi particolari:

• Ĥ non dipende da t: ^Û(t,t₀) = exp [ -ⁱ∕_ħĤ(t-t₀)] , Û(t,t₀) t o.o = 0
• Ĥ dipende da t e [Ĥ(t), Ĥ(t^'')] = 0 ∀ t, t^{'' Û(t,t₀)} = exp [ -ⁱ∕_ħ ∫_t0^t dt^'' Ĥ(t^'') ]
• Ĥ dipende da t e [Ĥ(t), Ĥ(t^'')] ≠ 0 ∀ t, t^''

Autoket dell'energia

Come si comporta l'operatore di evoluzione temporale quando agisce su un autoket della Hamiltoniana?

Ĥ|E_n