Meccanica Quantistica - esercizi

1. Stima dei parametri

È noto che un fenomeno fisico segue la legge y = a₁ + a₂e^a₃x, dove a₁, a₂, a₃ sono parametri che devono essere stimati. Per ragioni fisiche è noto che a₂ e a₃ sono non negativi mentre a₁ non è superiore a 4. Inoltre il modello fisico impone che (a₁, a₃) giaccia in un disco di centro l'origine e raggio 2.

Sono state effettuate delle misurazioni e in corrispondenza a 6 valori di x sono stati osservati i valori di y. Le misurazioni hanno fornito le seguenti coppie di valori (x, y) = (5, 127), (-3, 150), (-1, 379), (1, 426), (2, 445), (5, 420).

Si formuli un problema di minimi quadrati che permetta di determinare una stima dei parametri a₁, a₂, a₃. Il problema ottenuto è convesso?

2. Problema di ottimizzazione

Si consideri il seguente problema di ottimizzazione

min (x₁ - 3)² + (x₂ - 3)²

2x₁ + x₂ - 2 ≤ 0

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

1. Si disegni la regione ammissibile.
2. Si disegnino le linee di livello della funzione obiettivo, specificando la direzione che corrisponde a linee di livello di valore crescente.
3. Il problema è convesso? (Giustificare la risposta, rispondere semplicemente sì o no non è sufficiente).
4. Si determinino la soluzioni ottima.
5. Si disegni il cono tangente nel punto (1, 0) e si esibisca una direzione ammissibile in cui la funzione diminuisce.

3. Condizioni di KKT

Si consideri il problema

min 2x₁ + x₂

x₁² + x₂² - 1 = 0

e si calcolino i punti che soddisfano le condizioni di KKT. Si applichino quindi le condizioni del second’ordine e si determini così la natura dei punti trovati.

4. Problema primale e duale

Si consideri il problema

min 3x₁ - 2x₂ + 4x₃ + x₄

x₁ + x₂ - x₃ + 2x₄ ≤ 1,

x₂ + 3x₃ - 2x₄ ≥ 2

x₃ ≤ 7

x₁, x₂ ≥ 0

e se ne scriva il duale. Il punto (0,0,7,0) è ammissibile per il primale? Sfruttando la risposta a questa domanda (e giustificando la risposta) dire se è possibile che il problema duale sia illimitato superiormente.

5. Insieme ammissibile

Si consideri l’insieme ammissibile definito dai vincoli

x₁² - x₂ ≤ 0

x₁² + (x₂ − 1)² ≥ 1

x₁ ≥ 0

1. Si disegni l’insieme ammissibile.
2. Si disegni il cono tangente in (0,0).
3. Si scriva l’espressione del cono linearizzato.
4. Il cono linearizzato è uguale al cono tangente?
5. Nel punto (0,0) è soddisfatta la condizione di Lineare Indipendenza dei vincoli attivi? È applicabile di Mungasrian-Fronxovitz?