Meccanica quantistica - parte 6

CAPITOLO 6. METODI DI APPROSSIMAZIONE

6.1 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso non degenero

Supponiamo di avere Ĥ_o con spettro discreto noto: Ĥ_o|_o⟩ = E^(o)|_o⟩,

sìa Ĥ = Ĥ_o + V̂ l'hamiltoniana di cui vogliamo trovare autostati e autovalori, con V̂ piccolo rispetto ad Ĥ_o, cioè tale che possa essere considerato una perturbazione.

aggiungiamo un parametro di controllo ∈ [0,1], Ĥ = Ĥ_o + V̂:

• = 0 → Ĥ = Ĥ_o
• = 1 → Ĥ = Ĥ_o + V̂

vogliamo risolvere Ĥ|⟩ = E|⟩

Sistema a due livelli

Consideriamo:

Ĥ = _{( E1^(o)   0 )}    ^{( E₁(o)   V₁₂ )}

  ^{( 0   E₂(o) )} +  ^{( V₁₂   0 )}  = ^{( V₁₂   E₂(o) )}

E₁^(o), E₂^(o) : autovalori di Ĥ_o

^{( 1 )} _{= |11^(o)⟩ , | 0⟩ = |12^(o)⟩ : autoket di Ĥo}

Autovalori di Ĥ: E₁, E₂ =

 = (E₁^(o) + E₂^(o))/2   ±   √

   ( (E₁^(o) - E₂^(o))²/4   + ²V²₁₂ )

Ora, sìa |V₁₂| ≪ |E₂^(o) - E₁^(o)|, cioè siano gli elementi di matrice di V̂ piccoli rispetto

alla separazione dei livelli energetici dell'hamiltoniana imperturbata, allora:

   (E₁^(o) - E₂^(o))²/4   + ²V²₁₂   = |E₁^(o) - E₂^(o)|/2 ≫ √

4                     ]

E₂^(o)   E₁^(o)  

⇒ E₁, E₂ ≃ E₁^(o) ± |E₂(o) - E₁^(o)|/2

 =  (E₁^(o) + E₂^(o))/2  +  ^{( E₂(o)}  ±

² V²₁₂ )  =   [ 1 +   2²V²₁₂ ]

E₁^(o) - E₂(o) ^{E₁(o) + E₂(o)}  

E₁^(o) |E₂^(o) ]   ∼  [ 1

= E₁ = E₁^(o)  -  ² V²₁₂ ( (E₁^(o) - E₂^(o)) )

E₂ = E₂^(o) +^{( Ei 2}V²₁₂

   ( E₁^(o) - E₁^(o)) )

I nuovi livelli energetici appaiono come una correzione dei precedenti. La correzione

è espressa in serie ai potenze di o V₁₂.

Capitolo 6. Metodi di approssimazione

6.1 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso non degenere

Supponiamo di avere Ĥ₀ con spettro discreto noto: Ĥ₀|n⁽⁰⁾⟩ = E_n⁽⁰⁾|n⁽⁰⁾⟩,sia Ĥ = Ĥ₀ + V l’hamiltoniana di cui vogliamo trovare autostati e autovalori, con V piccolo rispetto ad Ĥ₀, cioè tale che possa essere considerato una perturbazione. Aggiungiamo un parametro di controllo λ ∈ [0,1], Ĥ = Ĥ₀ + λV:

• λ = 0 ⟹ Ĥ = Ĥ₀
• λ = 1 ⟹ Ĥ = Ĥ₀ + V

Vogliamo risolvere Ĥ|n⟩ = E_n|n⟩

Sistema a due livelli

Consideriamo:

Ĥ̅ = E₁⁽⁰⁾0 0E₂⁽⁰⁾ + λ

0V₁₂ V₁₂0 = E₁⁽⁰⁾λV₁₂ λV₁₂E₂⁽⁰⁾

E₁⁽⁰⁾, E₂⁽⁰⁾ : autovalori di Ĥ̅₀

|1⟩ = |1⁽⁰⁾⟩, |0⟩ = |1⁽⁰⁾⟩ : autoket di Ĥ̅₀

• E₁, E₂ = E₁⁽⁰⁾ + E₂⁽⁰⁾E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾

Ora, sia |V₁₂| ≪ |E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾|, cioè siano gli elementi di matrice di V piccoli rispetto alla separ