Matrice jacobiana e studio di funzione

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 4 — 11 novembre 2010

2 2 2 2 2 2 © → −–

1)

Consideriamo la funzione F : ℝ² → ℝ² definita come F(x, y) = (x + y, xy).

(i) Calcolare la matrice Jacobiana DF e determinare in quali punti F è localmente invertibile. F è iniettiva?

2 2

(ii) Sia poi C la circonferenza unitaria (l’insieme dei punti (x, y) con x² + y² = 1). Sapreste disegnare F(C) (cioè l’immagine dei punti di C tramite F)? Stessa domanda per una circonferenza di centro l’origine e raggio R.

(iii) Qual è l’immagine della funzione F?

2)

© – Calcolare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine di

x − − f(x, y) = sen(e^x cos(y))

nel punto (0, 0) e utilizzarlo per calcolare il limite

x − − sen(e^x cos(y)) . lim 2 2 x + y (x,y)→(0,0) 2 2

3)

© – Calcolare massimi e minimi locali e globali (= relativi e assoluti) di f(x, y) = x² + 2y² sull’insieme x² + y² ≤ 1.

Stessa domanda per la funzione f(x, y) = x² + 3y² − 6x sulla striscia [−1, 1] × ℝ.

4)

§§ →– Sia f : ℝ² → ℝ una funzione di classe C¹. Dimostrare che f non può essere iniettiva. [Suggerimento: considerare la funzione F(x, y) = (f(x, y), y) da ℝ² in ℝ²].

5)

©– Studiare la natura dei punti stazionari delle funzioni

f(x, y) = x⁴y⁴(x² − 1)², g(x, y) = x² + y² + 1 + (x + y)².

6)

©§– Studiare la natura dei punti stazionari delle funzioni

y x 3 2 y −x− − − f(x, y) = x e^y e^x, g(x, y) = x³ − x²y + 2xy², h(x, y) = x e^−y.

7)

©– Determinare massimi e minimi assoluti di

f(x, y) = x²y² + 2xy, su [−1, 1] × [−1, 1], g(x, y) = 6x − 2y², su x² + y² ≤ 1.

8)

§– Dato l’asteroide di equazione x³ + y³ = 1, si conduca la retta di equazione x = a (con 0 ≤ a ≤ 1).

Detti P₁ e P₂ i punti di intersezione della retta con l’asteroide, si calcoli il valore di a per il quale è minima la quantità d²(O, P₁) + d²(O, P₂) + d²(P₁, P₂).

1 2 1 2 4 2 2

9)

©§– ∈ Studiare i massimi e minimi locali di f(x, y) = x⁴ + ax²y² + y⁴ al variare di a ∈ ℝ.

10)

©– · · · Siano P_i = (x_i, y_i, z_i) per i = 1, · · ·, M, M punti dello spazio ℝ³. Siano

f(x, y, z) = ∑_i=1^M [(x − x_i)² + (y − y_i)² + (z − z_i)²].

e, se M = 2,

g(x, y, z) = ∑_i=1² [|x − x_i| + |y − y_i| + |z − z_i|].

Determinare i punti di minimo relativo di f(