Matrice invertibile

Applicazione non suriettiva, matrice invertibile, proiezione ortogonale, equazione sottospazio. Applicazione non suriettiva, matrice invertibile, proiezione ortogonale, equazione sottospazio.

1) Applicazione lineare non suriettiva

Sia \( f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4 \) un'applicazione lineare. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• \( f \) non è suriettiva
• dim Im \( f > 3 \)
• \( f \) può essere suriettiva
• \( f \) non può essere iniettiva
• \( \ker f \neq \{ \overrightarrow{0} \} \)

Poiché Im \( f = L(f(\overrightarrow{e_1}), (f(\overrightarrow{e_2}), (f(\overrightarrow{e_3}) \) al più potrà avere dimensione 3 e quindi non potrà mai coincidere con \( \mathbb{R}^4 \), da cui \( f \) non è suriettiva.

2) Matrice invertibile

Date le matrici \( A, B, M \in \mathbb{R}^{n \times n} \) con \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \), \( M \) invertibile e \( B = M^tAM \), si dica quale tra le seguenti affermazioni è falsa.

• det \( B \) può essere uguale a 20
• det \( B \) può essere uguale a -16
• \( B \) è invertibile
• \( A \) e \( B \) sono congruenti
• Il rango di \( B \) è maggiore di 2

Poiché \( A \) e \( B \) sono matrici congruenti per ipotesi, i loro determinanti avranno lo stesso segno. Ora det \( A = -16 \) quindi non potrà essere det \( B = 20 \).