Matrice quadrata matrice simmetrica

Matrice quadrata, matrice simmetrica, trasformazione lineare

Matrice quadrata, matrice simmetrica, trasformazione lineare

1) Matrice quadrata e determinante

Sia B una matrice reale quadrata di ordine 4 a determinante nullo. Allora

• B non è invertibile
• B è la matrice nulla
• B ha tutti gli elementi uguali tra loro
• B ha rango 2
• B è diagonalizzabile

Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha determinante non nullo.

2) Matrice simmetrica reale

Sia A una matrice simmetrica reale. Allora

• A è diagonalizzabile
• A ha tutti gli elementi positivi
• A è simile all'identità
• A è invertibile
• A ha determinante positivo

Le matrici simmetriche reali sono sempre diagonalizzabili.

3) Trasformazione lineare iniettiva

Sia f: V → W una trasformazione lineare iniettiva. Allora

• dim V ≤ dim W
• f è suriettiva
• Esiste un vettore di V non nullo che ha come immagine 0̅_W
• dim V = dim W
• dim V > dim W

Da dim V - dim ker f + dim Im f, ker f = {0̅} (essendo f iniettiva) e dim Im f ≤ dim W segue dim V ≤ dim W.