Matematica per l'economia prof D'Aniello - Traccia svolta appello 11 gennaio 2021

Corso di laurea in economia e commercio

Corso di laurea in economia aziendale

Matematica per l'economia (E-O)

Prof.ssa Emma D'Aniella – A.A. 2020-2021

Esame scritto - 11 gennaio 2021

Compito 1 (cognomi da Esp a Gri)

Nome: ...........................................

Cognome: .......................................

Matricola: ........................................

Esercizi

Risolvere almeno 3 dei seguenti esercizi tra cui, obbligatoriamente, il numero 2.

• Calcolare il seguente limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{5 - \cos x}{1 - \sin x} \)
• Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: \( f(x) = \frac{-4x}{x+1} \)
• Trovare le condizioni per cui il sistema:
  • x - y - 2z = x + 15
  • x + y - 3z = 43
  • 3x + 4y + z = 5
  sia
  1. incompatibile (impossibile);
  2. determinato.
• Calcolare il seguente integrale: \(\int \frac{x + 3}{x^2}dx\)
• Determinare i massimi e i minimi relativi della funzione \( f(x, y) = -x^2 + y^2 \) sotto il vincolo \( x + y = 1 \).

Soluzione esempio: Calcolare il seguente limite

Il limite si presenta in forma indeterminata. Operiamo un cambio di variabile: poniamo \( x \to -\infty \) e quindi \( \theta \to 0 \).

Riscriviamo il limite:

\( \lim_{\theta \to 0} \frac{5 - \cos \theta}{1 - \sin \theta} \)

Usiamo la regola di L'Hôpital:

\( \lim_{\theta \to 0} \frac{5 - \cos \theta}{1 - \sin \theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{-\sin \theta}{-\cos \theta} = \lim_{\theta \to 0} \tan \theta = -\ln 5 \)

Soluzione esempio: Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico

La funzione è razionale fratta, quindi per la ricerca del dominio basta porre il denominatore diverso da zero:

\( x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \)

Domini

\( x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \)

Intersezioni

La funzione interseca entrambi gli assi cartesiani. \\ Zeri della funzione: \( x = \pm 2 \)

Simmetrie

La funzione non è pari né dispari.

Segni

Segno della funzione: \(-\frac{4x}{x+1} > 0 \Rightarrow x > 0\)

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