Matematica per l'economia, prove d'esame svolte. Prof De Simone-D'Aniello

Matematica per l’economia

A.A. 2019/20 e 2020/21

• Corso di Laurea in Economia e Commercio
• Corso di Laurea in Economia Aziendale

Prof. D’Aniello Emma

Prof. De Simone Valentina

Tracce d’esame svolte

8 – gennaio - 2019

Compito 1

Compito 2

Compito 3

Compito 4

Esame - 08 gennaio 2019

Compito 1

Nome……………………………

Cognome……………….............

Matricola…………………….

Risolvere i seguenti esercizi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico −1= − −6

2. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva 3−= ln 2 − 10 nel punto (0,0).

3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettori della seguente matrice: 1 2 1= 0 2 01 −2 1

4. Determinare eventuali punti di massimo e minimo della seguente funzione:, = + +−1

1. Studio di funzione

1. Studio di funzione = − −6

Dominio

Unica condizione denominatore diverso da zero

− −6 0 → −2 ∨ 3

Δ = 25 0 → , "! = ∈ $: −2 ∨ 3&'−∞; '−2; '3;

Scriviamo il dominio per intervalli: ! = −2* ∪ 3* ∪ +∞*− −1 +1

Simmetrie − = =− → -.- è 0123+ −6 + −6−1

− =− − → -.- è 4350123− −6 −1 1 1

Intersezioni = 0 = =∩ 1557 = →9 → =99 − − 6 6 68 =0 =0 =0−1 −1=0 =1=∩ 1557 = →; →< =9 ;− − 6 =0 =0: =0

La funzione interseca gli assi nei punti A e B

−1

Segno 0− −6−1 0 1 →= →= − −6 0 > −2 ∨ 30 ∀ ∈ −2; 1 ∪ 3; +∞> 0 ∀ ∈ −∞; −2 ∪ 1; 3

Limiti agli estremi del dominio = 0 Clim F = → = 0G:C CB = 0: C:CE : H:→ B D

• È asintoto orizzontale destro e sinistro
• = = +∞lim :C C: C:CE JD I:→C K
• = −2 è asintoto verticale per )lim = = −∞:C: C:CE J:→ D II
• Lim = = +∞:C: C:CE JD K:→ K

HBlim = = −∞:C C: C:CE J:→C D KI

= 3 è asintoto verticale per −1

Derivata prima = − −6− −6− −1 2 −1′ = − −6− −6−2 +2 + −1= − −6− +2 −7= − −6

Studiamone segno e zeri: − +2 −7 N0− −6+2 −7N0−Δ = 4 − 28 = −24 > 0 → − +2 −7 > 0 ∀ ∈ !− −6 0 ∀ ∈!

La derivata prima è sempre negativa → ) è sempre decrescente

Il grafico presenta un punto di flesso con ascissa compresa tra 0 ed 1. In corrispondenza di tale valore la derivata seconda si annulla.

Derivata seconda: 2 −6 + 42 − 26" = − −6

Grafico 3−

2. Equazione della retta tangente

2. Equazione della retta tangente in (0,0) = ln 2 − 10 3−

Dominio della funzione: 02 − 10 3− 0 >3= →= →3> >52 − 10 0 5! = 3; 5

Lo zero non appartiene al dominio della funzione, non è possibile scrivere l’equazione della tangente richiesta.

3. Definizione di autovalore e autovettore

3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettori 3 1 2 1 della seguente matrice: = 0 2 01 −2 1

Definizioni

Sia ∈ R1S T, -, Uuna matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo KV ∈ U

Si dice che lo scalare è un autovalore di A, se:∃X ∈ U ∧ X .YTale che:X = VX(*) X V.

Il vettore è detto autovettore relativo all’autovalore V, [X, [ ∈ U ∧ [ 0

Se v è un autovettore relativo all’autovalore allora anche con è un autovettore V, [ relativo a infatti, se moltiplichiamo ambo i membri della (*) per lo scalare[ X = [ VX si ha pure: [X = V [X[X Vè un autovettore associato a ciò dimostra che anche

Calcolo degli autovalori ed autovettori 1−V 2 1

Risoluzione del polinomio caratteristico:| − V]| = 0 2−V 01 −2 1−V| − V]| = 0 ^1 − V 1

Sviluppando il determinante lungo la seconda riga:| − V]| = 2 − V ^1 1−V| * − 1'− V]| = 2 − V 1 − V 2−V =0*2−V 1−V − 1' = 0 → ; 1−V −1=0V=21−V =1 V=0_ 1−V −1=0→= →=1 − V = −1 V=2

Gli autovalori della matrice sono: V = V =2 7 V =0

Calcolo degli autovettori

V = V = 21−2 2 1 0 −1 2 1 0

Per` a b d = ` a ⇔ ` a b d = ` a0 2−2 0 0 0 0 0 0c c1 −2 1−2 0 1 −2 −1 00a ⇔ − 2 − c = 0⟹ b d = `1 −2 −1 0c 0 ∞ 5.ghc3.-3

La matrice ha rango 1: ci sono due parametri liberi, il sistema ha=2 +c V = V = 225 + S

Lo spazio degli autovettori relativi a è generato da:X=` a5S2 1E quindi assegnando arbitrariamente ai parametri i valori 0 e 1, si ha:s,tX = ` a; X = ` a;1 00 1

V = 0

Per +2 +c =01−0 2 1 0 1 2 1 0 2 =0` a b d = ` a ⇔ ` a b d = ` a ⇔ 90 2−0 0 0 0 2 0 0c c − 2 +c =01 −2 1−0 0 1 −2 1 0= −c=0⟹_ c=S 5.ghc3.-3∞

La matrice ha rango 2: vi è un parametro