Limite prodotto esponenziale e arcotangente

Limite prodotto esponenziale e arcotangente

Si calcoli, se esiste, il seguente limite

lim e^-x²-2x+cos x arctan(x³-4x+log x)

x->+inf

Riscrittura come prodotto dei limiti

Il limite può essere riscritto come prodotto dei limiti, ovvero

lim e^-x²-2x+cos x . lim arctan(x³-4x+log x)

x->+inf x->+inf

Raccoglimento per la gerarchia degli infiniti

Raccogliendo a fattor comune per la gerarchia degli infiniti abbiamo che:

= lim e^-x²(1+2/x-cos x/x²) . lim arctan[x³(1-4x/x³+log x/x³)]

x->+inf x->+inf

Essendo la potenza di x in ciascuno di essi, il massimo esponente.

Limiti ricordati

Ricordando alcuni limiti:

• Lim e^-x² = -inf, lim 2/x = 0, lim cos x/x² = 0
• x->+inf x->+inf x->+inf
• Lim -4x/x³ = -4/x² = 0, lim log x/x³ = 0
• x->+inf x->+inf

Calcolo finale

Dunque avremo che:

= lim e^-x² . lim arctan(x³)

x->+inf x->+inf

= lim e^-inf : arctan(inf) -> e^-inf . pi/2 = 0

= 1/e^inf . arctan(inf) = pi/2 / +inf = 0

Pertanto il limite dato sarà uguale a:

lim e^-x²-2x+cos x arctan(x³-4x+log x) = 0

x->+inf

Limite prodotto radice e fratto, radici seste