Integrali Doppi Svolti

Integrali doppi: esercizi svolti

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore.

Esercizio

Calcolare i seguenti integrali doppi sugli insiemi specificati:

• ( )√Z q22R 2a) , y <x< 1 − y(x + y) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 0 < y < 2Ω h i13Z ³ ´ n o22 2 R
• B) x + y dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2Ω h i83Z on √2 2 R
• C) xxy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 0 < x < 1, x < y <Ω h i112Z n oxy 2 2 2 R
• D) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 1 < x + y < 4, x > 0, y > 02 2x + yΩ h i34Z n o2 2 2 2 2 R
• E) xy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + y < 1, x + y < 2x, y > 0Ω h i548Z n o2 2 2 R
• F) xy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + 2y < 1, x > 0, y > 0Ω h i116

Integrali doppi: esercizi svolti

• ( )√Z q22R 2g) x(1 − y) dx dy, Ω= (x, y) ∈ : 0 < y < , y < x < 1 − y2Ω h i√ 2 1−6 16
• ½ ¾Z 1 12Rh) log (xy) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : −1 < x < − , 4x < y <2 xΩ [5 log 2 − 3]½ ¾Z 1x 2 2 R
• *I) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x < y < x, 1 < xy < 2log 2y 4Ω h i21 log 46Z n o1 2 R
• Dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4l) 2(x + y)Ω [log 25 − log 24]Z n ox 2 2 2 R
• M) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x < y < 2x , 1 < x < 22 2x + yΩ h iπ 1 34 12 arctan 4 − 3 arctan 2 + − log 17 + log 5 − log 24 4 2Z n o√2 √sin y 2 2 R
• N) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 0 < x < y , π < y < 2πyΩ [−1]Z n o2 2 2 R
• O) xy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + 2y < 1Ω [0]Z q n o2 2 2 R
• P) x + y dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + y − 4x < 0Ω h i2569Z ³ ´ n o22 2 2 R
• Q) x + y dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 1 < x + y < 4, x > 0, y > 0Ω h i7 15+ π3 16Z q n o2 2 2 2 2 R
• R) x x + y dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + y < 1, x + y < 2y, x < 0Ω h i3− 20

Integrali doppi: esercizi svolti

• S) (x + y) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 2x + 3y < 4, x > 0, y > 0Ω h ³ ´i√ √4 3+ 29

Svolgimento

a)

Consideriamo l’integrale (x + y) dx dy, doveΩ( )√ q22R 2Ω= (x, y) ∈ : 0 < y < , y < x < 1 − y .2

y10.80.60.40.2 x0−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Fig. 1: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω è x-semplice. Quindi si ha che√"Z #√Z Z 2 21−y2(x + y) dx dy = (x + y) dx dy =Ω 0 y√√ √· ¸ · ¸Z Z q³ ´2 221−y1 1 32 22 2 22= x + xy dy = 1 − y + y 1 − y − y dy =2 2 20 0y √√ µ ¶ · ¸Z q 2³ ´2 3 11 1 2 1 22 2 3 2 22 == − 2y + y 1 − y dy = y − y − 1 − y .2 2 3 3 30 0

b)

Consideriamo l’integrale x + y dx dy, doveΩZ ³ ´2 2Ω = (x, y) ∈ : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2 .4

Integrali doppi: esercizi svolti

y2.521.510.5 x0−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Fig. 2: L’insieme Ω è il quadrato.

L’insieme Ω è sia x-semplice che y-semplice. Si ha che·Z ¸Z Z³ ´ ³ ´1 22 2 2 2x + y dx dy = x + y dy dx =Ω 0 1· ¸ µ ¶ · ¸ZZ 2 111 1 7 1 7 82 3 2 3x y + y dx = x + dx = x + x = .= 3 3 3 3 30 01 0

c)

Consideriamo l’integrale xy dx dy, doveΩn o√2 2RΩ = (x, y) ∈ : 0 < x < 1, x < y < x .

y1.210.80.60.40.2 x0−0.2 0 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Fig. 3: L’insieme Ω (in azzurro).

Integrali doppi: esercizi svolti

L’insieme Ω è y-semplice. Quindi si ha che"Z #√Z Z 1 xxy dx dy = xy dy dx =2Ω 0 x√· ¸ ¸·Z Z ³ ´x 11 11 1 1 1 1 12 2 5 3 6= x y dx = x − x dx = x − x = .2 2 2 3 6 120 02x 0

d)

Consideriamo l’integrale xy dx dy, dove 2 2x + yΩn o2 2 2RΩ = (x, y) ∈ : 1 < x + y < 4, x > 0, y > 0 .

y2.521.510.5 x0−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Fig. 4: L’insieme Ω (in azzurro).

L’insieme Ω è sia x-semplice che y-semplice. Osserviamo che Ω presenta una simmetria radiale. Possiamo quindi passare in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi ( x = ρ cos ϑΦ: ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π, |det J (ρ, ϑ)| = ρ.Φy = ρ sin ϑ,

Allora ( 1 <ρ< 2(x, y) ∈ Ω ⇐⇒ π0 < ϑ < .20

Quindi si ha che Ω = Φ(Ω ), dove ¾½ π20 R .Ω = (ρ, ϑ) ∈ : 1 < ρ < 2, 0 < ϑ < 2

Ne segue che Z Zxy dx dy = ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ =2 2x + y 0Ω Ω

Integrali doppi: esercizi svolti

0essendo Ω un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione in ρ e di una di ϑ si ottieneÃZ !µZ ¶ · ¸ · ¸ ππ 22 1 1 322 2 2cos ϑ sin ϑ dϑ = ρ sin ϑ .= ρ dρ =2 2 41 0 1 0

y2π/210.50 x0 0.5 1 1.5 2 2.50

Fig. 5: L’insieme Ω (in verde).

Z