Integrali doppi

Integrali doppi

Gli integrali semplici (ad una variabile) servono per calcolare l'area di una funzione, mentre gli integrali doppi ne calcolano il volume. Gli integrali doppi riguardano le funzioni a 2 variabili indipendenti e a differenza delle funzioni ad una variabile si integra su una superficie anziché su un segmento. L'elemento dxdy rappresenta un quadrato infinitamente piccolo che, moltiplicato per f(x, y), darà come risultato il volume della colonna compresa tra la funzione e il piano xy.

Calcolo degli integrali doppi

La formula di riduzione permette di calcolare un integrale doppio come due successivi integrali semplici.

Esercizio 1: Integrale doppio su dominio rettangolare

Svolgimento:

• Come prima cosa, utilizzando la formula della riduzione, si decide la variabile da integrare per prima (in questo caso la x). Durante l'integrazione di questa variabile si andrà a trattare l'altra come una costante.
• Una volta svolto il primo integrale è sufficiente integrare nuovamente la funzione ottenuta dalla prima integrazione prestando particolare attenzione a non confondere gli estremi di integrazione.

Esercizio 2: Integrale doppio su dominio rettangolare

Svolgimento:

Esercizio 3: Integrale doppio su dominio normale rispetto ad x

"D" sarebbe la base del solido a cui andremo a calcolare il volume.

Svolgimento:

• Si inizia integrando per prima la variabile avente come dominio una funzione (in questo caso la y), il metodo di integrazione rimane lo stesso degli integrali doppi trattati precedentemente, ovvero si applica la formula di riduzione.
• Una volta svolto il primo integrale è sufficiente integrare nuovamente la funzione ottenuta dalla prima integrazione.

Esercizio 4: Integrale doppio su dominio normale rispetto ad x

Deduzione:

Svolgimento:

Esercizio 5: Integrale doppio su dominio normale rispetto ad y

"D" sarebbe la base del solido a cui andremo a calcolare il volume.

(L'equazione di una circonferenza C (0, 0) è:

Svolgimento:

Cambi di variabile in integrali doppi

Per matrice jacobiana si intende una matrice che ha per valori sulle righe i gradienti delle due componenti della funzione. Per gradiente si intende le derivate parziali delle 2 variabili che compongono una funzione.

Esercizio 6: Integrali doppi in coordinate polari

Svolgimento:

Esercizio 7: Integrali doppi in coordinate ellittiche

Svolgimento:

Integrali tripli caratteristiche e differenze

Come vengono utilizzati:

Integrali di linea (o curvilinei)

In matematica, un integrale di linea (da non confondere con il calco