Esercizi svolti integrali doppi

Integrali doppi

∫∫ _D dx dy con D={(x,y) ∈ ℝ: x ≤ 1, x ≤ y ≤ x/2}

1^a caso: rappresentare nel grafico cartesiano

x ≤ 1 → y ≤ x/2 → 1-x ≤ y/2 | x=1 1-x ≤ y/2 → 1-½x ≤ y → y=2x → x=0 → y+2 → x=1 → oppure y=_1x⁄₃

Dunque D: 0 ≤ x ≤ 2x ≤ x¹

2^a caso: calcolare

∫^y/2x⁄_1-½x dy → ∫₀^log2(x+2)⁵ dx

∫⁰log2⁄1x+1xdx rarr; ∫(log)2⁸⁄dx loga∙b=loga+logb°

∫^log2logxcosd211x&one;∗⁄(se ∗#1∫¹log_-(-*⁾)dx∗&sub2;∴ log(^1∗ dxsi=pezzo per parti (a^m)!=st^oggrado linear

Integrali doppi

∬ D dxdy con D={ (x,y) ∈ R² : x ≤ 1, 1 - x ≤ y ≤ x/2 }

1^a caso: rappresentare nel grafico cartesiano

x ≤ 1 y ≤ 1 x = 1 1 - x ≤ y ≤ x/2 ⟹ 1 - x = y/2

Oppure y/2 - y inoltre y = 1 - 2x

Ora x ≤ 1 e y ≤ 2-2x con (0,0) ⟹ 0 ≥ 2 NO dunque si verifica qui

Dunque D: 0 ≤ x ≤ 1 2f ≤ x + √22

2^a caso

∫₀^x dx ∫_1-x^x/2 dy = ∫₀¹ [ f(log(y+2)) ] dx = ∫₀¹ [ f(log2+xlog1/2-xlog1) ] dx = log a*b = elog a + log b

∫₀¹ log2²*log1^x dx

∫₁² log(1+x)( x ) dx - ∫₁² log(-1-x) dx = log2³* ∫_x¹ dx - ∫₀^{x( 1 )} dx

∫₁² dx / x - ∫₀¹ (x-log|x|+1)|₁= -log3* ∫₀¹ log2² - 1 - log4* ∫₂¹

Integrali tripli

T -> cilindro retto compreso tra i piani z = 0 e z = 1 di raggio 1 e avente per base la cerchia x² + y² ≤ 1

Si può risolverlo: per sostituire per strata o feli

I = ∫₀¹∫∫_D z√(R−x²) dxdy dz

D_{1} (il mio stato se certino)

Toto la z come costante in quanto l'integrale dopo è un dxdy, che poto fuori = ∫₀¹ z∫_{−√(1−x²)}^√(1−x2) dx = ∫_−A^A

Ora lo guardiamo il integrale doppio, sufforniamo e progettiamo nel piano x,y

D : −A ≤ x ≤ A

Dunque ∫∫ [ √(1−x²) − √(1−x²) ] dxdy

= √(1−x²) = 2∫ √(1−x²) dx = 2√1³/2 = 2/3

= 2 − 2/3 = 4/3 − 8/3

Unire ∫₃² √(2tz) dt

8/3

8/3 = 3^1/2/8/3

3/4— 3/10

Altro metodo di risolutare

T : x ≤ z ≤ A

−√(1−x²) ≤ y ≤ √(1−x²)

= ‘A -∫_−A ^‘A 4t dx = √(x²) = √(4/3)− 4/3

D -> curo centrato nell'ogione e avente gli spigoli di lunghezza 2 parallela agl'asi cartesiani

D :: (x, y, z)