Integrali doppi

Integrale doppio

f : A ⊂ R² → R

Consideriamo, per iniziare, il caso in cui A sia un rettangolo.

R = [a,b] × [c,d]

f : ℝ² → ℝ²

Sia P_x = { x₀, x₁, ..., x_n } una partizione di [a,b].

Sia P_y = { y₀, y₁, ..., y_m } una partizione di [c,d].

P_x × P_y Ð due partizioni del rettangolo R = [a,b] × [c,d].

Per ogni h ∈ {1, ..., n}, k ∈ {1, ..., m}.

Sia I_hk = [x_h-1, x_h] × [y_k-1, y_k].

E siano m_hk = inf { f(x,y) = (x,y) ∈ I_hk }.

M_hk = sup { f(x,y) = (x,y) ∈ I_hk }.

Area parallelepipedo inscritto

d(f,g,P) = Σ_h=1ⁿ Σ_k=1^m m_hk (x_h - x_h-1) (y_k - y_k-1)

Detto P(R) l'insieme di tutte le partizioni di R, si dice che ∫ è integrale in R se:

sup { L (f,g,P) : P ∈ P(R) } = inf { U (f,g,P) : P ∈ P(R) } = c ∈ ℝ

In tal caso C è il "volume con segno" di f in R e si pone:

∬_R f(x,y) dx dy = c

Se f : ℝ → ℝ limitata ed integrabile:

R : [a,b] × [c,d]

Allora c : sup{ L(f,g,P) } = inf{ U(f,g,P) } : c ∈ ℝ

Integrale doppio

f: A ⊆ R² → R

Consideriamo, per intuire, il caso in cui A sia un rettangolo.

R = [a,b] x [c,d]

f: R² → R²

Sia P_x = { x₀, …, x_n} una partizione di [a,b].

Sia P_y = { y₀, …, y_m} una partizione di [c,d].

P: P_x, P_y ≠ due partizioni del rettangolo R = [a,b] x [c,d].

Sia I_hk = [x_h, x_h+1] x [y_k, y_k+1].

E siano m_hk = inf { f(x,y) = (x,y) ∈ I_hk}.

M_hk = sup { f(x,y) = (x,y) ∈ I_hk}.

Area parallelepipedo inscritto

Integrale in R = ∑_h=1ⁿ ∑_k=1^m m_hk (x_h - x_h-1) (y_k - y_k-1)

∑_h=1ⁿ ∑_k=1^m M_hk (x_h - x_h-1) (y_k - y_k-1)

Detto P(R) l'insieme di tutte le partizioni di R, si dice che ∫ è sup P(R) = c ∈ R.

In tal caso c è il "volume con segno" di f in R e si pone:

∫∫_R f(x,y) dx dy = c

Se f: R → R² limitata ed integrabile R: [a,b] x [c,d].

Allora c: sup U f(p) = inf U f(p) : c ∈ R.

Allora ∫∫_Rg(x,y)dxdy è il volume con segno compreso tra il grafico G_z : [a₁,g₁] x (x,y)∈ℜ, z∈[f(x),g(x)] e il piano z = 0.

→ volume : ∫∫_Rf(x,y)dxdy

∫∫_Rf(x,y)dtdg = volume v₁ - volume v₂

Osservazione

Non tutte le funzioni sono integrabili.

Esempio

Sia f : [0,1] x [0,1] → ℜ definita da:

f(x,y) = { 1 se x∈Q 0 se x ∈ D ∀p∈P(R) esista μ(g_p,p) = 0 e U(g_p,p) = λ → f non è integrabile.

Teorema

Se f : [a,b] x [c,d] → ℜ è continua, allora ƒ è integrabile.

N.B. ƒ integrabile ⇔ ƒ continua.

∫_[1,2] x [1,3] → ℜ definita da:

∫(x,y) = { 1 se y ∈ [1,2] 2 se y ∈ (2,3) ƒ è integrabile tra ƒ non è continua nei punti (1,2) ∀ x ∈ [1,2].

Come si calcola un integrale doppio?

z = f(x, y)

y = g(x)

Area = A(y₀) = ∫_c^d f(x₁, y₀) dx

V = ∫_c^d f(x, y) dx dy = ∫_c^d A(y) dy = ∫_c^d (∫_a^b f(x, y) dx) dy

Teorema - Formula di riduzione per un rettangolo

Se f: [a, b] × [c, d] → R è continua, allora il suo integrale doppio si può calcolare come integrale iterato nel modo seguente:

∫_[a,b]×[c,d] f(x,y) dx dy = ∫_c^d (∫_a^b f(x,y) dx) dy = ∫_a^b (∫_c^d f(x,y) dy) dx = ∫_c^d (∫_a^b f(x,y) dx) dy

Oss. L'iterazione ci permette di ridondare (= ridurre) il calcolo di un integrale doppio a quello di due integrali semplici.

Esempio

Calcolare ∫_[0,c]×[0,1] ke^xy dy dx.

x e³ è continua su [0, 1] × [0, c].

I = ∫₀^c (∫₀¹ xe^xy dy) dx

Calcolato ∫₀¹ ke^xy dy = [e^ky]_y=0^y=1 = e² - e⁰ = e^c - 1

∫₀^c xe^x-1 dx = [e^x]₀¹ = (∫_c⁰ e^xy dx)

A = 2c/2 - 1c/2 - 1/2c²/2 - c - 3/3 - e² - e/2

Avrei potuto anche calcolare l'integrale doppio invertendo il ruolo di x e y.

∫_[0,c]×[0,1] xe^xy dxdy = ∫₀¹ (∫₀^e ke^xy dx) dy

I calcoli, in questo caso, sarebbero stati un po' più lunghi.

Funzioni integrabili su domìni non rettangolari

Sia Ω ⊆ R² un dominio.

∫_Ω: Ω → R limitata.

Si può integrare ∫ Ω?

Sia R un rettangolo che contiene Ω.

Considero la funzione g̅: R→ℝ definita da:

⎧∫_a^b(∫_c^d f(x,y)dy) dx se (x,y)∈ Ω ⎩ 0 se (x,y)∉ Ω

Def. Sia Ω∈ ℝ² limitato e ∫_Ω ∅. Sia R=[a,b]x[c,d] un rettangolo contenente Ω e sia:

∫_R-Ω R→ℝ definita da ⎧∫_a^b(∫_c^d f(x,y)dy)dx se (x,y)∈ Ω ⎩ 0 se (x,y)∈ R \ Ω

Se g̅ risulta integrabile (secondo la definizione X) in R, allora diremo che f è integrabile in Ω e rispetta:

∫∫_Ω f(x,y)dxdy = ∫∫_R g̅(x,y)dxdy

Oss. La definizione coinvolge un rettangolo R che contenga Ω, ma si può dimostrare che l'integrabilità di ∫ ed il valore dell'integrale non dipendono dalla scelta di R.

Si noti che, anche se prendendo che f sia continua in Ω, in generale ∫ risulta discontinua su Ω, e quindi in R.

Nota bene: è ovvio che una funzione continua e limitata su Ω sia anche integrabile su Ω.

Esercizio

3. Sia Ω = {(x,y)∈[0,1]x[0,1] : x ∈ Q}.

Vogliamo capire se esiste ∫∫_Ω 1 dxdy.

Ω ⊂ R =[0,1]x[0,1]

Notando che f(x,y)=1 è costante e quindi continua in Ω, se estendiamo g̅: R→ℝ al rettangolo R, otteniamo la stessa funzione dell'esempio 1 che, come già visto, non è integrabile.

Definizione

Un sottoinsieme Ω ⊆ ℝ¹ si dice misurabile secondo Peano - Jordan se la funzione I_Ω : Ω→ℝ definita da I (x,y) = 1 ∀ x ∈ Ω è integrabile.

In tal caso chiamerato area o misura di Ω è denotato con il simbolo |Ω| il numero non negativo:

|Ω| = ∫∫_Ω 1 dx dy

∬_Ω dx dy

666 evidentemente R = [a, b] x [c, d] è misurabile.

|R| = (b-a)(c-d)

Ω è misurabile ↔ ogni funzione costante su Ω è integrabile.

Introduciamo una classe di insiemi misurabili

Def. Un insieme E ⊆ R² o di tipofigo relativamente all'asse y (o y — tipofigo) se esistono un intervallo [a,b] ∈ R ed esistono funzioni continue g ed h: [a, b] → R tali che:

E = { (x,y) ∈ R x e ∈ [a,b) è g(x) ≤ y ≤ g(x) }

Analogamente si dice che E è x-tipofigo se esistono un intervallo [c, d] e due funzioni continue l, h: [c, d] → R tali che risulti:

E = { (x,y): y∈[c,d] è g(x) ≤ x ≤ g(x) }

Si dice tipofigo se e è x-tipofigo oppure y-tipofigo e si dice regolare se e è l'unione di un numero finito di insiemi tipofigo.

E = { (x,y): x∈[a,b) } g₁(x) ≤ y ≤ g_c(x) è misurabile e |E| = ∫_a^b (g₂(x)-g₁(x) ) dx

E = { (x,y); y∈[c,d] } h₂(y) ≤ x ≤ h₁(y) |E| = _c ∫^d ( h₁(y)-h₁(y) ) dy

x — tipofigo

Non è x — tipofigo ma è y — tipofigo.

Non è semplice.

E₁ ∪ E₂ non è semplice ma è regolare.

Sia E₁ che E₂ sono x-semplici.

E è x-semplice.

E è anche y-semplice.

E non è semplice ma è regolare.

Teorema

Se E = { (x, y) : x ∈ [a, b], g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x) } è x-semplice, allora E è misurabile e:

|E| = ∫_a^b (g₂(x) - g₁(x)) ∂x

Se E = { (x, y) : y ∈ [c, d], h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y) } allora E è misurabile e:

|E| = ∫_c^d (h₂(y) - h₁(y)) ∂y

Oss. Ogni insieme semplice è misurabile.

Ogni insieme regolare è misurabile.

Se g : [a, b] ⟶ ℝ è continua, allora il grafico di g è un insieme x-semplice di misura nulla.

|g| = ∫_a^b (g₁(x) - g₂(x)) ∂x = 0

Teorema

Se Ω è un insieme regolare e f: Ω → R è continua allora ∫_Ω f è integrabile.

Esempi

Calcolare l'area di:

1. A = { (x, y): x ∈ [0, 2π], 0 ≤ y ≤ 1 + sin x }

A è y-semplice.

|A| = ∫₀^2π 1 + sin x dx = [− cos x]₀^2π = 2π − 1 · (0 − 1) = 2π

2. E = { (x, y): x ∈ [0,3], x² ≤ y ≤ x³ }

E è y-semplice infatti:

E = { (x, y): x ∈ [0,1] y ∈ x² ≤ y ≤ √x }

E è anche x-semplice infatti:

E = { (x, y): y ∈ [0,1] x² ≤ y ≤ x³ }

|E| = ∫₀¹ √x − x² dx = ∫₀¹ y − y² dy

|E| = ∫₀¹ √x − x² dx

|E| = [ 2/3 x^3/2 - x³/3 ]¹₀ = 2/3 - 1/3 = 1/4 3/3 - 1/3 - 8/3 - 12/3 = 5/12

Calcolo di integrali doppi: metodo di riduzione

Teorema

Sia f: Ω → R continua su Ω un insieme x-semplice, ossia Ω = { (x, y): y ∈ [c, d], h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y) } con h₁, h₂ : [c, d] → R continue.

Allora l'integrale doppio su Ω di f si può calcolare in modo iterato così:

∫∫_Ω f(x,y) dx dy = ∫_c^d ( ∫_h1(y)^h₂(y) f(x, y) dx ) dy

Se invece Ω è y-semplice, ossia Ω = { (x,y): x ∈ [a,b], g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x) }.

Allora ∫∫_Ω f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_g1(x)^g₂(x) f(x,y) dy ) dx

Se Ω è sia y-semplice che x-semplice, allora valgono entrambe le formule.

Esempio

3. Sia D il triangolo di estremi (0,0) (1,1) e (1,0), calcolare ∬_D xy dx dy.

D è sia y-semplice che x-semplice.

D=_{x,y} : x ∈ [0,1] 0≤ y ≤ x D è è y-semplice.

D=_{x,y} : y ∈ [0,1] y ≤ x ≤ 1 D è x-semplice.

∬_D xy dx dy = ∫₀¹ ( ∫₀^x xy dy ) dx = ∫₀¹ x( ∫₀^x y dy ) dx = ∫₀¹ [ x( y²/2 )₀^x ] dx == ∫₀¹ [ x³/2 ] dx = [ x⁴/8₀¹ ] = [ 1/8 ] = 1/8

4. Calcolare ∬_D x^1/3 y^1/2 dxdy dove D è il triangolo dell'esercizio precedente.

= ∫₀¹ ( ∫₀^x x^1/3 y^1/2 dy ) dx = 1/2 ( ∫₀¹ x^1/3 ( 2/3 x^1/2) dx )

= ∫₀¹ ( ∫₀^x x^1/3 y^1/2 dy ) dx = ∫₀¹ ( ∫₀^x x^1/3 y^1/2 dy ) dx

= ∫₀¹ ( 2/3 ) ( 2/3 ) ( 2/3 ) = ∫₀¹ ( 2/3 ) ( 2/3 ) ( 2/3 )

= ( 2/3 ) ( 2x + xk )^3/2

= (( 2/3 ) x^1/3 x^1/3 - 1/3 ) = ( [ x⁴ ]₀¹ ]= 1/2 ( 2/3 ) x^3/2 y^1/2 dy = 1/2 ( 2/3 ) ( 2√2 -1 )x 3 dx = [ √2 ( x⁴ ) ]= [ [ ( x⁴ )₀¹ = 2√2 -1/12

Cambio di variabili: da cartesiane a polari

∬_D f(x,y) dx dy = ∬_D' f(ρcosθ, ρsinθ) ρ dρ dθ

Dove D' è l'immagine di D espresso nelle coordinate ρ e θ.

1. ∬_D= (xy²/(x²+y²)) dx dy

D: { (x,y) : x² + y² ≤ 4 , x ≥ 0 , y≥0 }

D: { (ρ,θ) : ρ∈ [0,2] , θ∈ [0,π/2] }

I = ∫_D (xy²/(x²+y²)) dx dy = ∫₀^π/2 (cosθ β (πsinπ)²) 1/2 dρ= ∫₀^2π 1/2 cosθ sin²(θ) ( π/2 rad ) [ dp/Q ] 2x= 1/2 (cosθ sinθ) x