Geometria e Algebra - Esercitazione

ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA (Febbraio/2007)

Cognome e Nome...................................... Matr. e anno di iscr.......................... Firma....................

1. Siano U e W_h i sottospazi vettoriali di R³ così definiti:
   • U:
     • x-z=0
     • y+t+1=0
   • W_h = L((h, 0, 1, 1), (1, h, -1, 1)), con h ∈ R.
   1. Dire per quali valori di h ∈ R risulta U + W_h = R⁴.
   2. Dire per quali valori di h ∈ R risulta U ∩ W_h = {0}.
   3. Determinare una base del sottospazio U + W_h, quando h = 0.
2. Si consideri l'endomorfismo di R³ dato da:

   F_h(x, y, z) = (x+y-z, 2hx+2hy+z, z) ∀h ∈ R.

   1. Dire per quali valori di h ∈ R lo scalare 3 è autovalore per F_h.
   2. Si dica, giustificando brevemente le risposte, in quali dei seguenti casi l'endomorfismo F_h è diagonalizzabile:
      • h = 0;
      • h = 1/2;
      • h = -1/2.
3. Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta r passante per i punti A(1, -1, 2) e B(0, 1, 1), la retta s:

   ^2x+z=1 _y=1

   e il punto P(1, 0, 0).
   1. Determinare la retta per P ortogonale sia alla retta r che alla retta s.
   2. Determinare la retta per P complanare sia con la retta r che con la retta s.
   3. Rappresentare il piano contenente la retta r e parallelo alla retta s.
   4. Esistono piani contenenti le rette r ed s ortogonali alla retta t? Giustificare la risposta da un punto di vista geometrico.

Riportare sull'altra pagina un breve svolgimento degli esercizi 1b), 2a), e 3b).