Geometria e Algebra - Esercitazione

Esame di geometria e algebra (Febbraio/2007)

Cognome e Nome...................... Matr. e anno di iscr...................... Firma ..............

1. Sottospazi vettoriali di R⁴

Siano U e W_h i sottospazi vettoriali di R⁴ così definiti:

U: { x - t = 0 y + z + t = 0 }

W_h = L((h,0,1,1),(1,h,-1,1)), con h in R.

• A) Dire per quali valori di h in R risulta U + W_h = R⁴.
• B) Dire per quali valori di h in R risulta U ∩ W_h = {0}.
• C) Determinare una base del sottospazio U + W_h, quando h = 0.

2. Endomorfismo di R³

Si consideri l'endomorfismo di R³ dato da:

F_h(x,y,z) = (x + y - z, 2hx + 2hy + z, z)

h in R.

• A) Dire per quali valori di h in R lo scalare 3 è autovalore per F_h.
• B) Si dica, giustificando brevemente le risposte in quali dei seguenti casi l'endomorfismo F_h è diagonalizzabile: h = 0; h = 1/2; h = -1/2.

3. Rette, piano e riferimento cartesiano nello spazio

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta r passante per i punti A(1,-1,-2) e B(0,0,-1), la retta s: { 2x + z = 1 y = 1 } e il punto P(1,0,0).

• A) Determinare la retta per P ortogonale sia alla retta r che alla retta s.
• B) Determinare la retta per P complanare sia con la retta r che con la retta s.
• C) Rappresentare il piano contenente la retta r e parallelo alla retta s.
• D) Esistono piani contenenti la retta r ed ortogonali alla retta s? Giustificare la risposta da un punto di vista geometrico.

Riportare sull'altra pagina un breve svolgimento degli esercizi 1b), 2a), e 3b).