Geometria e Algebra - Esercitazione

Esercizi di algebra lineare e geometria

1. Sottospazi vettoriali in R³

Si consideri nello spazio vettoriale R³ il sottospazio W = L((2,-1,-1),(1,-1,0)) e si dica con quale dei seguenti sottospazi esso coincide:

• V₁ = L((1,0,0),(0,1,-1)) No
• V₂ = L((1,0,-1),(0,-1,1),(1,2,1)) No
• V₃ = L((1,0,-1),(0,1,-1)) Si

2. Endomorfismo di R³

Si consideri l'endomorfismo di R³ dato da:

F_h(x, y, z) = (x + hy + z, 2x - hz, 0), per ogni h ∈ R.

1. Dire per quali valori di h ∈ R l'endomorfismo F_h ha per nucleo il sottospazio L((1,-3,2)).

manuca

2. Determinare gli autovalori dell'endomorfismo F₀ e dire se F₀ è diagonalizzabile.

λ₀ = 0 m. a. c. z ug.: 1

t₂ = 1 ma l: 1 m. g.: 1

F₀ non è diagonalizzabile

3. Rette e piano nello spazio

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta r passante per i punti A(1,-3,-1) e B(1,1,1), e la retta s passante per i punti C(1,1,-1) e D(2,0,-1).

1. Dire se le rette r ed s sono complanari.

Si

2. Rappresentare il piano α passante per il punto P(0,1,0) e parallelo alle rette r ed s.

x + y - 2z - 1 = 0

3. Rappresentare parametricamente la retta passante per il punto P(0,1,0) e ortogonale sia ad r che ad s.

{x = t y = 1 + t z = -2t}

4. Determinare, se esiste, una retta passante per il punto P(0,1,0) ed incidente sia la retta r che la retta

x = 3 - t y = 4 - 4t z = t

Definizioni

Definizione di sistema legato. Provare che un sistema è legato se almeno uno dei suoi vettori è combinazione lineare dei rimanenti.

Definizione di riferimento cartesiano e di coordinate cartesiane di un punto, in un riferimento