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Esercizi campo elettrico4 esercizi campo elettrico4

Esercizio 6

Su un cavo sottile rettilineo molto lungo è presente una carica negativa con densità di carica lineare λ = -3.6 nC/m. Il cavo viene circondato da un cilindro avente raggio di 1.5 cm, coassiale con il cavo.

La densità di carica superficiale σ del cilindro è tale che il campo elettrico al di fuori del cilindro è nullo. Si calcoli la densità di carica positiva σ.

(Risultato: σ = 38 · 10^-9 C/m²)

Il campo elettrico generato dal filo

Il campo elettrico generato da un filo rettilineo infinito vale:

E_λ = -λ / 2πε₀r [diretto verso il filo perché λ negativo]

Per calcolare il campo generato dalle due distribuzioni di cariche applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r > R.

Campo generato dalla carica positiva

∮E_σ•nds = |E_σ| 2πr·ℓ = Q / ε₀ = σ 2πRℓ / ε₀

I due campi (filo + cilindro) devono essere uguali in moduli.

|E_λ| = |E_σ| ⇒ σ R / ε₀ r = λ / 2πε₀r ⇒ σ = λ / 2πR

σ = 3.6·10^-9 C/m / 2π (1.5 · 10^-2 m) = 0.38·10^-7 C/m² = 38 nC/m²