Esercizi Campo elettrico e magnetico

Esercizio 1 primo appello

Punto A

Un guscio cilindrico non esercita alcuna forza elettrostatica su una particella carica posta al suo interno. Prendendo una superficie gaussiana r < R si ottiene che E = 0 poiché la superficie non racchiude alcuna carica, all'interno della stessa non ci sarà campo elettrico. Per r < R: H −→q = EdA = 0 E = 0. Per r < R: H Hq = EdA = EdA = EA = E(2πrh)0 0 0 0. Quindi, risolvendo rispetto a E si ottiene: qE = 2π r h0. Siccome la carica è distribuita uniformemente nel cilindro si avrà che: q = σ 2 πRh. Sostituendo il valore di q si ottiene: 1 RE = σ 2πRh = σ 2π r h r0 0. Quello appena trovato è il modulo del campo elettrico del guscio cilindrico. Il campo elettrico totale sarà: R r RE = σ = σ (x, y, 0) CIL 2|r| r r0 0. Quindi il campo elettrico totale sarà: R RE = σ x, σ y, 0 CIL 2 2 r r0 0

Punto B

Si calcoli il campo elettrico di una carica puntiforme utilizzando la legge di Gauss: I I I 2·q = E dA = E dA = E dA = E A = E (4πr )0 0 0 0 0. Risolvendo rispetto al campo elettrico E si trova: qE = 2 4πr0. Che è il modulo del campo elettrico di una carica puntiforme. Quindi: q r qE = = (x, y, z)Q 2 3|r| 4πr 4πr0 01. Quindi il campo elettrico totale sarà: q qq x, y, zE =Q 3 3 3 4πr 4πr 4πr0 0 0. In definitiva si avrà che E = E + E quindi:T OT CIL Q q q qσR σRE = + x, + y, zT OT 3 2 3 2 3 4πr r 4πr r 4πr0 0 0 0 0. Possiamo calcolare la differenza di potenziale ΔV tra A(0,R,0) e P(0,3R,0) come:0 zyP x 000 ZZZ Z PPP Ez dzEy dy +Ex dx +ΔV = E dr = T OTT OTT OTT OT zyxP PPP0 Z q σRΔV = + x dx+2 22 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 0003R 0 Z ZσRq q+ z dz+ y dy +2 22 2 2 3/2 2 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 4π(x + y + z )00 0R 03R Z q σRΔV = 0 + + y dy + 02 22 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 00R 3R3R ZZ σRq y dy +ΔV = y dy2 22 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 00 RR 3R 3RZ Zq 1 σR 1ΔV = y dy + y dy2 22 2 2 3/24π (x + y )(x + y + z )0 0R R. Poiché lo spostamento avviene solo sull'asse y, in quanto le coordinate x e z di A e P rimangono uguali. Possiamo scrivere: 3R 3RZ Zq σR1 1y dy + y dyΔV = 22 3/24π (y )(y )0 0R R3R 3RZ ZσRq 1 1y dy + y dyΔV = 3 24π y y0 0R R3R 3R q σR1 1− −ΔV = +24π 2y y0 0R R q 1 σR 11 1− −ΔV = + + +2 24π 18R 2R 3R R0 0. Che è la differenza di potenziale tra A e P

Punto C

Si può calcolare il lavoro necessario per spostare una carica dal punto P(0,3R,0) al punto P’(0,2R,R) come0P x y z0 0 0Z Z Z ZP P PL = q E dr = q Ex dx + q Ey dy + q Ez dz0→PP 0 T OT 0 T OT 0 T OT 0 T OTP x y zP P P0 Z q σRL = q + x dx+0→PP 0 2 22 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 0002R R ZZ qq σR y dy + q+ q + z dz0 02 22 2 2 3/2 2 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 4π(x + y + z )00 003R 2R R Z Z qq σR y dy + qL = 0 + q + z dz0→P 0P 0 2 22 2 2 3/2 2 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 4π(x + y + z )00 003R2R 2R R ZZ Zq σR qL = q y dy + y dy + z dz0→PP 0 2 22 2 2 3/2 2 2 2 3/2 (x + y ) 4π(x + y + z ) 4π(x + y + z )00 03R 3R 02R 2R R Z Z Z1 1 q 1q σR y dy +L = q y dy + z dz0→PP 0 2 22 2 2 3/2 2 2 2 3/2 4π (x + y ) 4π(x + y + z ) (x + y + z )0 0 03R 3R 0. Poiché lo spostamento avviene solo sull'asse y e sull'asse z, in quanto le coordinate di x di P e P’ rimangono uguali. Possiamo scrivere: 2R 2R R Z Z Z1 σR 1 q 1qL y dy + y dy + z dz= q0→PP 0 22 2 3/2 2 2 3/2 4π (y ) 4π(y + z ) (y + z )0 0 03R 3R 0. Risolvendo gli integrali e valutandoli negli estremi di integrazione si ottiene un valore che moltiplicato per q ci dà il lavoro necessario per spostare una carica dal punto P al punto P’

Campo elettrico lungo un filo

Per calcolare il campo elettrico scelgo una superficie gaussiana cilindrica e di raggio r. Usando la legge di Gauss si ottiene: H Hq = EdA = E dA = EA0 0 0. Poiché la superficie gaussiana è un cilindro si avrà: q = E(2πrL)0. Da cui si può ottenere: qE = 2πrL0. Per ragioni di simmetria si ha che la carica è costante su tutto il filo. Sapendo che λ è la densità lineare di carica si avrà che: q = λL. Dove L è la lunghezza del filo. Sostituendo in E si ottiene: 1 λE = λL = 2πr 2πr0 0

Campo elettrico sfera/carica

Per calcolare il campo elettrico scelgo una superficie gaussiana sferica di raggio r. Se r > R: Usando la legge di Gauss si ottiene: H Hq = EdA = E dA = EA0 0 0. Poiché la superficie gaussiana è una sfera si avrà: 2q = E(4πr )0. Da cui si può ottenere: qE = 2 4πr0. Per ragioni di simmetria si ha che la carica è costante su tutta la superficie della sfera. Sapendo che ρ è la densità volumetrica di carica si avrà che: 4 3 3q = ρ πR. Sostituendo in E si ottiene: 34 1 R3E = ρ πR = ρ2 23 4πr 3 r0 0

Se R > r: Usando la legge di Gauss si ottiene: H Hq = EdA = E dA = EA0 0 0. Poiché la superficie gaussiana è una sfera si avrà: 2q = E(4πr )0. Da cui si può ottenere: qE = 2 4πr0. Per ragioni di simmetria si ha che la carica è costante su tutta la superficie della sfera. Sapendo che ρ è la densità volumetrica di carica si avrà che: 4 3 3q = ρ πr. Sostituendo in E si ottiene: 4 1 r3E = ρ πr = ρ23 4πr 30 0

Guscio sferico

Un guscio sferico non esercita nessuna forza su una carica posta al suo interno. Prendendo una superficie gaussiana con r < R si ottiene con E = 0 poiché la superficie non racchiude alcuna carica. Per r < R H −→q = EdA = 0 E = 0. Per r > R: Usando la legge di Gauss, poiché la superficie gaussiana è sferica, si ottiene: 2H Hq = EdA = E dA = EA = E4πr0 0 0 0. La carica è distribuita uniformemente, si può quindi scrivere che:4 3πRq = ρ 3. Sostituendo in E si ottiene: 3R4 13 = ρE = ρ πR 2 23 4πr 3 r0 0

Campo elettrico lamina isolante

Un'opportuna superficie gaussiana è un cilindro avente base di area A posta in modo che interseca il piano carico. Per ragioni di simmetria si può dedurre che il campo elettrico E è perpendicolare alla lamina. Il flusso che attraversa la porzione di superficie gaussiana è nullo. La legge di Gauss è: H Hq = EdA = E dA0 0. Poiché si tiene conto del flusso attraverso le due basi si ottiene: q = E2A0. Quindi si ottiene: qE = 2A0. Essendo σ la densità superficiale si avrà che: q = σA. Sostituendo si avrà che: σ1E = σA = 2A 20 0

Se invece la lamina è conduttrice, si deve considerare solo la superficie esterna. Quindi si avrà: Hq = E dA = EA0 0. Di conseguenza si ottiene: qE = A0. La densità è σ quindi si avrà che: q = σA. E di conseguenza si avrà che: 1 σE = σA = A 0 0

Capacità condensatore cilindrico

Un condensatore cilindrico di lunghezza l costituito da due cilindri coassiali di raggio R e raggio R, dove l R in modo da trascurare la distorsione del campo elettrico in corrispondenza degli estremi come superficie gaussiana si sceglie un cilindro di lunghezza L e raggio r, si ha che: I Iq = EdA = E dA = EA0 0 0. Essendo la superficie gaussiana cilindrica si avrà che A = 2πrL quindi: q = E(2πrL)0. Di conseguenza: qE = 2πrL0. Essendo la differenza di potenziale in un condensatore: fZ− EdsV V =f i i L’integrale è calcolato su un qualunque percorso che va da un piatto all’altro.