Equazioni nel campo dei numeri complessi

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione z⁴+(1+i)z³=0.

Forma trigonometrica del numero complesso

Scrivo in forma trigonometrica il numero (1+i):

Determino modulo e argomento ρ=|1+i| =√2. Θ è un angolo notevole e vale Θ=π/4.

Sono in grado di scrivere il numero complesso in forma trigonometrica 1+i=√2 (cos π/4 + i sen π/4).

Per la formula di De Moivre zⁿ=ρⁿ [cos n Θ + i sen n Θ].

Si ha (1+i)³=(√2)³[(cos 3π/4 + i sen 3π/4)]= 8√2(√2/2 - i √2/2)=8√2 [1/√2 - i 1/√2] = 8 - 8i.

Quindi l'equazione data può essere riscritta come z⁴+ (8 - 8i) =0.

Calcolo delle radici quarte

Devo calcolare le radici quarte di 8-8i.

Scrivo in forma trigonometrica il numero complesso 8 - 8i.

ρ=8√2. Θ=arctg (-1) = 7π/4. t = 7π/4.

Quindi 8i - 8 = 8√2 (cos 7π/4 - i sen 3π/4).

Ora calcolo le radici rappresentate dalla formula z_k = √ρ [cos (Θ+2Kπ/n), i sen_n (Θ+2Kπ/n)] con K=0,1,2,3.

Eseguendo i relativi calcoli si trovano le quattro radici:

• Z₀ = 8√2 (cos 7π/16 + i sen 3π/16)
• Z₁ = 8√2 (cos 14π/16 + i sen 11π/16)
• Z₂ = 8√2 (cos 19π/16 + i sen 18π/16)
• Z₃ = 8√2 (cos 22π/16 + i sen 22π/16)

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