Equazioni generali di bilancio

Indice

• Trasporto in un mezzo qualsiasi equazioni generali ………………………………………………………..….…1
• Equazione di continuità …..……………………………………………..….…4
• Equazione generale del moto’ …….…..……………………………………....11
• Equazione generale dell energia …..………………………………....31
• Equazione nel caso di convezione naturale …………...…33
• Bilanci locali di materia per sistemi multicomponente ……………….....…41
• Equazioni del moto per sistemi multicomponente’ ………………42
• Equazione dell energia per sistemi multicomponente ….…………48
• Convezione naturale per differenza di concentrazione ……….…………………………………..………50
• Flussi a più componenti ………………………...…………50
• Flussi materiali per sistemi multicomponente …………….…..…..……61
• Flussi di energia termica per sistemi multicomponente –E : ....62
• Esempi applicativi trasferimento simultaneo materia energia

Trasporto in un mezzo continuo qualsiasi

Vogliamo ricavare le equazioni generali di quantità di moto, di energia e di materia.

Fino ad ora quando dovevamo scrivere un‘equazione di bilancio abbiamo dovuto identificare il volume di controllo e poi abbiamo scritto le equazioni di bilancio, le quali sono state esplicitate con le condizioni al contorno.

Ora vedremo come ricavare le equazioni generali del bilancio, cioè delle equazioni in cui è compresa la variazione in tutte le direzioni e la variazione nel tempo.

Se seguissimo il precedente approccio per i problemi più complessi, ci vorrebbe un sacco di tempo per arrivare all’equazione di bilancio e sarebbe più complicato.

In sostanza, partiremo dalle equazioni generali e semplificheremo i termini che non servono.

Equazioni di continuità

Supponiamo di avere un fluido che si trova nello spazio e identifichiamo un sistema di riferimento x-y-z: L’elementino di fluido preso in considerazione avrà dimensioni + ∆∆∆.

Il fluido si sta muovendo con una velocità generica e questa avrà componenti in tutte e 3 le direzioni: ⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗ + + ∆

L’equazione di conservazione della materia tradotta in termini matematici dovrà essere estesa a tutte e 3 le direzioni dello spazio e dovrà essere scritta in termini non stazionari, ovvero otteniamo un’equazione che è il più generale possibile.

L’equazione di conservazione assumerà la seguente forma:

[( )| ( )| ]∆∆∆ [( )| ( )| ]∆∆∆− + [( )| − ( )| ] ∆∆∆ + − +∆ +∆ +∆= ∆∆∆| − ∆∆∆|+∆

2[ ].∆∆: superficie ortogonale all’asse x (in blu)

3 ∆∆: [ ].portata volumetrica

∆∆: [ ].portata massica [].

∆∆∆: massa

2[ ].∆∆: superficie ortogonale all’asse y (in rosso)

2[ ].∆∆: superficie ortogonale all’asse z

Il primo termine ci rappresenta dunque la massa netta che entra nel volumetto nell’intervallo di tempo ∆ dalle facce perpendicolari all’asse x. ∆

Il secondo termine rappresenta la massa netta che entra nel volumetto nell’intervallo di tempo dalle facce perpendicolari all’asse y. ∆

Il terzo termine rappresenta la massa netta che entra nel volumetto nell’intervallo di tempo dalle facce perpendicolari all’asse z. 1

La somma dei tre termini rappresenta la massa netta che entra nel volumetto nell’intervallo di tempo ∆ da tutte le facce.

Il termine al secondo membro rappresenta il termine di accumulo della materia all’interno del volumetto di controllo nell’intervallo di tempo ∆.

∆∆∆ ∆ → 0, ∆ → 0 ∆ → 0

Se dividiamo l’equazione per e facciamo il limite e otteniamo:

) ( ) ) ( ( Forma euleriana dell’Equazione = −[ + + ] di continuità

È la forma euleriana perché è stata ricavata rispetto ad un osservatore fisso, cioè un sistema di riferimento fisso nello spazio.

Quest’equazione si trova spesso scritta in forma compatta come:

= −(∇ ∙ ⃗) = −(⃗)

L’equazione euleriana può essere rielaborata andando a sviluppare i prodotti:

= − [ + + + + + ]

Riscrivendo:

+ + + = − [ + + ]

Dove al primo termine abbiamo la derivata sostanziale:

= + + +

E il termine entro parentesi non è altro che la definizione di divergenza:

(⃗) = [ + + ]

Pertanto possiamo riscrivere che: Forma lagrangiana dell’Equazione = − (⃗) di continuità

Si chiama forma lagrangiana in quanto è scritta rispetto ad un osservatore in moto con il fluido. 2

≃ ):Per fluidi incomprimibili ( (⃗) = 0

Questa scrittura non vuol dire che siamo allo stazionario, vuol dire semplicemente che la densità si sta mantenendo costante. 3

Equazione generale del moto

Abbiamo visto come sviluppare l’equazione generale del bilancio globale di materia, cioè l’equazione di continuità, e ora vedremo come sviluppare l’equazione generale del moto (bilancio locale).

Supponiamo di avere a che fare con un fluido che si sta muovendo nello spazio e identifichiamo un sistema di assi cartesiani x-y-z: L’elementino di fluido preso in considerazione avrà dimensioni + ∆∆∆.

Il fluido si sta muovendo con una velocità generica e questa avrà componenti in tutte e 3 le direzioni: ⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗ + + ∆

Questo bilancio, a differenza degli altri, è un bilancio vettoriale e pertanto bisognerà scriverne uno in ogni direzione che si considera.

In coordinate rettangolari bisognerà scrivere un bilancio lungo x, uno lungo y e uno lungo z.

L’equazione generale ci dice che tutta la quantità di moto che entrerà attraverso tutti i meccanismi possibili nel volumetto di controllo, più la risultante delle forze agenti nella direzione in cui stiamo applicando l’equazione di bilancio di quantità di moto, dovrà essere uguale alla quantità di moto accumulata all’interno del volumetto di controllo.

∆,Quello che dobbiamo scrivere è la quantità di moto che entrerà, in un intervallo di tempo attraverso tutte le facce ortogonali all’asse x, quelle ortogonali all’asse y e quelle ortogonali all’asse z, ma i termini di moto dovranno essere tutti diretti verso l’asse x.

Scriviamo il bilancio:

Quantità biata per convettivo [( )| ( )| ]∆∆∆ − ∆∆∆ + [( ∆∆∆ )| − ( ∆∆∆ )| ] di +∆ meccanismo +∆ moto [( )| ( )| ]+ ∆∆∆ − ∆∆∆ + ⋯ +∆ scam-

2[ ].∆∆: superficie ortogonale all’asse x (in blu)

[ ].: velocità in direzione x

3 ∆∆: [ ].portata volumetrica

∆∆: [ ].portata massica

[]. ∆∆∆: ∆massa che entra nell’intervallo nella faccia ortogonale all’asse x

∆∆∆ [ ].: quantità di moto che entrerà nella faccia ortogonale all’asse x

2[ ].∆∆: superficie ortogonale all’asse y (in rosso)

∆∆∆ : quantità di moto che entrerà nella faccia ortogonale all’asse y ma che sarà diretta [ ]. lungo x

Moltiplichiamo per perché stiamo applicando l’equazione di bilancio di quantità di moto in direzione x.

2[ ].∆∆: superficie ortogonale all’asse z

∆∆∆ : quantità di moto che entrerà nella faccia ortogonale all’asse z ma che sarà diretta [ ].verso x

NB. le moltiplicate per la superficie determinano la massa che entra all’interno del volumetto di controllo a seconda della superficie considerata, ma sono le alla fine di ogni termine a determinare la direzione in cui viene scambiata la quantità di moto.4

Il primo termine è la quantità di moto netta che entrerà nel volume di controllo mediante le facce ortogonali all’asse x, il secondo è la quantità di moto netta che entrerà nel volume di controllo mediante le facce ortogonali all’asse y e l’ultimo è la quantità di moto netta che entrerà nel volume di controllo mediante le facce ortogonali all’asse z, in ogni caso la quantità di moto sarà diretta verso x.

Tutti questi scambi stanno avvenendo per meccanismo convettivo, però ovviamente sappiamo che la quantità di moto si trasferisce anche per meccanismo viscoso, ossia per trasporto molecolare.

Dato un sistema di riferimento x-y-z, su ciascuna faccia del cubo agiranno 3 componenti dei flussi molecolari di quantità di moto.

La componente normale viene indicata con , quelle tangenziali vengono invece indicate con e , tutte e 3 sono nella faccia perpendicolare all’asse x, ma una è diretta verso l’asse x, una verso l’asse y e una verso l’asse z.

Ovviamente le abbiamo disegnate da quella parte, ma ci saranno 3 componenti anche dall’altra parte.

A questo punto si dovrà scrivere il termine di quantità di moto che entra attraverso ciascuna di queste Quantità biata facce, tenendo conto di ogni le cui componenti sono dirette verso l’asse x: molecolare per di meccanismo | | | |( )∆∆∆ ( )∆∆∆… + − + ( | − | ) ∆∆∆ + − + ⋯ moto +∆ +∆ +∆ scam-

| |( − )∆∆∆: ∆∆quantità di moto netta che si trasferisce nelle facce di superficie +∆ ∆.nell’intervallo di tempo

( | − | ) ∆∆∆: ∆∆quantità di moto netta che si trasferisce nelle facce di superficie +∆ ∆.nell’intervallo di tempo

| |( )∆∆∆:− ∆∆quantità di moto netta che si trasferisce nelle facce di superficie +∆ ∆.nell’intervallo di tempo

La somma di questi 3 contributi ci da la quantità di moto scambiata con l’esterno dal volume di controllo per trasferimento molecolare in tutte le facce dell’elementino di fluido considerato, il tutto ∆.nell’intervallo di tempo

A questo punto dobbiamo considerare le forze agenti sul volume di controllo, in particolare di avranno forse di pressione e forze di volume:

Risultante delle forze che agiscono |(| )∆∆∆ (∆∆∆)… + − + ∙ ∆ = ⋯ lungo x +∆

|(| )∆∆∆:− poiché la pressione agisce normalmente si dovrà tenere conto solo delle +∆facce ortogonali all’asse x (∆∆).

∆∆∆: massa presente all’interno dell’elementino.

: componente della forza di campo. 5

Tutti i precedenti termini dovranno essere eguagliati al termine di accumulo:

| |… = (∆∆∆) − (∆∆∆) +∆

|(∆∆∆) .: quantità di moto presente nel volume di controllo al tempo |(∆∆∆) + ∆.: quantità di moto presente nel volume di controllo al tempo +∆

Quella descritta è la nostra equazione di bilancio di quantità di moto diretta verso l’asse x scritta per l’elementino in esame, si basa su principi primi, non abbiamo fatto nessuna assunzione o semplificazione per ricavarla.

∆∆∆∆ ∆ → 0, ∆ → 0 ∆ → 0 ∆ → 0

Se dividiamo l’equazione per e facciamo il limite , otteniamo:

) ( ) ) ( ( = −[ + + ]−( + + )− +

Quantità di moto scambiata Risultante delle forze di Accumulo della componente della quantità Quantità di moto scambiata lungo x per meccanismo pressione e forze di campo lungo x per meccanismo convettivo molecolare di moto lungo x

Quella appena riportata rappresenta l’equazione di bilancio di quantità di moto scritta in direzione x.

Si dovrebbe scrivere un’equazione analoga per l’asse y e per l’asse z.

Possiamo riassumere queste equazioni usando la seguente forma compatta:

Forma euleriana dell’Equazione (⃗) di quantità di moto in forma [∇ ̿]= −[∇ ∙ ⃗⃗] − ∙ − ∇ + ⃗ vettoriale

Questa è l’equazione generale scritta in forma euleriana e con notazione vettoriale dell’equazione di quantità di moto, ovviamente può essere scomposta nelle 3 equazioni scalari che rappresentano le equazioni nelle 3 diverse direzioni dello spazio.

Prende il nome di forma euleriana in quanto è stata ricavata rispetto ad un osservatore fisso, infatti abbiamo preso un sistema di riferimento fisso nello spazio e rispetto ad esso abbiamo scritto la nostra equazione di bilancio.

̿Andiamo ad analizzare meglio il tensore :

̿ = | | = | |

̿ = è un tensore simmetrico, quindi

Gli elementi di questo tensore rappresentano le componenti delle tensioni, normali e tangenziali, che agiscono su ciascuna faccia del volumetto di controllo e che sono responsabili del trasporto molecolare.

Quando andiamo a fare la divergenza di un tensore otteniamo un vettore, allo stesso modo il gradiente di uno scalare restituisce un vettore, pertanto gli elementi che compaiono nella precedente equazione sono tutti elementi vettoriali. 6

[∇ ̿]∙ ∇Quest’equazione può essere a volte essere scritta in maniera differente, in cui i termini e vengono accorpati tra loro:

(⃗) ̿= −[∇ ∙ ⃗⃗] − [∇ ∙ Π] + ⃗̿Π

Il tensore è costituito come segue: