Numeri complessi, proprietà numeri complessi e equazioni nel campo complesso

Campo dei numeri complessi

In _Q l’equazione x² = -1 non ha soluzione ⟶ nasce IR.

In _R l’equazione x = -1 non ha soluzione ⟶ nasce C.

Definizione

Sia ‘i’ un simbolo che assumiamo essere soluzione dell’equazione x² = -1, ovvero i² = -1. i prende il nome di unità immaginaria. Con questa premessa definiamo l’insieme numerico C = {x + yi x, y ∈ R}. Chiamiamo z: x + yi numero complesso.

yi è la parte immaginaria di z, x è la parte reale di z.

Operazioni con i numeri complessi

Somma (x + yi) + (a + ib) = (x + a) + (yi + b)i

Prodotto (x + yi)(a + ib) = (xa - yb) + (ya + xb)i

Osservazione

Dato che i² = -1 ⟶ i ⋅ i = -1

Campo dei Numeri Complessi

Irr\(\mathbb{Q}\) l'equazione x² = -1 non ha soluzione

Irr\(\mathbb{R}\) l'equazione x = -1 non ha soluzione

Definizione

Sia 'i' un simbolo che assumiamo essere soluzione dell'equazione x² = -1 , ovvero , i² = -1. Con questa premessa definiamo l'insieme numerico \(\mathbb{C}\) = {x + iy : x, y \(\epsilon\) \(\mathbb{R}\) }

Chiamiamo z = x+iy numero complesso. iy è la parte immaginaria di z. x è la parte reale di z.

Operazioni con i numeri complessi

Somma (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + (iy + b)i

Prodotto (x + iy) (a + ib) = (xa - yb) + (ya + xb)i

Osservazione

Dato che i² = -1

Proprietà della somma

• Come in R associativa
• Commutativa
• Elemento neutro (0+i0)
• Opposto ∀z ∈ C, -z=-x -iy ∈ C tale che z+(-z)=0

Proprietà del prodotto

• ∈{0} associativa
• Commutativa
• Elemento neutro: 1=1+i0
• Inverso ∀z ∈ C, z = x+iy, ∃w ∈ C tale che z·w=1

Verifichiamo che w = ¹/_z = … w = ¹/_x+iy moltiplichiamo numeratore e denominatore per x-iy e usiamo il prodotto notevole w = ^x-iy/_(x+iy)(x-iy) = ^x+iy/_x²+y² infine vale la proprietà distributiva

Definizione

Alla luce delle proprietà elencate (, +, ·) questo è chiamato campo dei numeri complessi C non è un campo ordinato.

Coniugato e modulo di numeri complessi

Definizione

Dato z = x + iy

z̅ ∈ ℂ è il numero complesso z̅ = x - iy

z̅ prende il nome di coniugato di z

|z| ∈ ℝ, > 0 definito come |z| = √(x² + y²)

Si legge modulo di z

Proprietà del coniugato

• (z̅̅)̅ = z
• z̅w̅ = z̅ · w̅ da cui seguono...
• zⁿ̅ = z̅ⁿ ∀n ∈ ℕ
• (1/z)̅ = 1/z̅, z ≠ 0 → z̅ · 1/z̅ = 1 ⇒ z̅/z = 1 dunque ⇒ z̅ · (1/z)̅ = 1 ⇒ (1/z̅) = 1/z̅ z ≠ 0
• z̅ⁿ = z̅ⁿ ∀n ∈ ℤ
• z + w = z̅ + w̅

Proprietà del modulo

• |z|² = z · z̅ → z = x + iy, z̅ = x - iy → z · z̅ = (x + iy)(x - iy) = (x)² - (iy)² = x² + y²
• |z · w| = |z| |w| da cui discende
• |z|^m = |z|^m ∀m ∈ N
• ¹/_z̅ = ¹/_|z|, z ≠ 0
• |^z/_w| = ^|z|/_|w|, w ≠ 0
• Importante |z + w| ≠ |z| + |w|
• |z + w| > |z| + |w|   disuguaglianza triangolare   (∀w, z ∈ C)

Forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi

Misura dell'angolo in radianti

Diciamo che l'angolo misura θ radianti se sulla circonferenza unitaria viene intercettato un arco di lunghezza θ → AB = θ

Conversione gradi-radianti

• y rad = g gradi
• 2π = 360°

Conversione del segno

Antiorario: θ > 0

Orario: θ < 0

Tabella di conversione

Coordinate polari nel piano

Dato un punto P(x,y) nel piano

r = √(x² + y²) - lunghezza CP

g - angolo in radianti formato dalle semirette ox e OP

La coppia (r, g) individua univocamente P ed è chiamata coordinata polare di P

Osservazione

g è univocamente determinato a meno di multipli di 2π. Più esplicitamente (r, g) e (r, g + 2κπ), κ ∈ Z, individuano lo stesso punto P

Usando r, g per esprimere le coordinate cartesiane x, y di P otteniamo la forma trigonometrica del numero complesso

Definizione

z = x + ωy. Siano (r, g) le coordinate polari di P. Si pone (usando la trigonometria)

x = r cos g

y = r sin g

così che z = r (cos g + i sin g) forma trigonometrica

Osservazioni

• r = |z| quindi z = |z| (cos g + i sin g)
• g è chiamato argomento del numero complesso z e definito a meno di multipli di 2π

Formule di De Moivre

Applicando le formule di sottrazione e somma trigonometriche

z = r ( cos β + i sin β )

w = s ( cos φ + i sin φ )

z:w = r:s ( cos (β+φ) + i sin (β+φ) )

z / w = r / s ( cos (β-φ) + i sin (β-φ) )

Formula di Eulero

e^iβ = cos(β) + i sin(β)

Formula esponenziale del numero complesso

z ∈ ℂ, z = |z| e^iθ |z| ( cos β + i sin β )

Osservazione

z e^iβ, w = s e^iφ ⟹ z w = r s e^{i (β+φ)} z / w = r / s e^{i (β-φ)} con w ≠ 0

z = r e^iβ ∈ ℂ^N ⟹ zⁿ = rⁿ e^inθ z / z = 1 = r / r ^ei0

Osservazione

|e^iβ| = √( sin²(θ) + cos²(θ) ) | = 1

Importante

z = w ⟺ { r = s ( |z|=|w| ) θ = φ + 2k, k ∈ ℤ

Equazioni nel campo complesso

Cominciamo discutendo di: zⁿ = w

Definizione

Dati w ∈ ℂ\{0}, n ∈ ℕ\{0} chiamiamo una radice n-esima di w ogni soluzione z ∈ ℂ della equazione zⁿ = w

Problema: Esistono? Quante sono?

Osserva: Nessuno degli assiomi di ℂ ha già la risposta in se stesso

Poniamo z = r_ze^iφ e w = se^iθ e sostituiamo nell'equazione zⁿ = w:

zⁿ = w ⇔ r_zⁿ e^iφ = se^iθ ⇔

1. r_zⁿ = sn
2. φ = θ + 2kπ, k ∈ ℤ

⇔

1. r_z = ^m√s
2. φ = ^{θ + 2kπ}/_m, k ∈ ℤ

Conclusione: L'equazione zⁿ = w ha esattamente n soluzioni, chiamate radici n-esime e hanno la forma z = r_ze^iφ, w = se^iθ r_z = ^m√s φ = ^{θ + 2kπ}/_m, k ∈ ℤ!! k va da 0 a n-1 in quanto in questo modo si esegue un giro completo di 360°

Esempio: Calcolare le radici quarte di -1

Scriviamo -1 in forma esponenziale -> e^iπ

• ρ = 1
• θ = π / 2
• n = 4

Applichiamo la formula risolutiva ottenendo:

z = z'e^(τi/n) dove

1. k = 0 -> z₁ = e^(π/4)i
2. k = 1 -> z₂ = e^(3π/4)i
3. k = 2 -> z₃ = e^(5π/4)i
4. k = 3 -> z₄ = e^(7π/4)i

Esempio: Calcolare le radici quarte di i

Scriviamo i in forma esponenziale -> i = e^(π/2)i

• s = |w| = |1| = 1
• ρ = 1
• n = 4

Applicazione della formula: z = e^{(i/(4))(π/2)}

Osservazione

• sin θ = y/s
• cos θ = x/s
• tan θ = y/x