Equazioni frazionarie di primo grado - esercitazione 6

Esercizi di algebra

Esercitazione 6

Equazioni frazionarie di primo grado

Risolvere le seguenti equazioni frazionarie

• 47 1/(4x² - 4x) + 1/(3x²) = 1/(3x² - 3x³) [Impossibile]
• 48 2/(x + 1) - 1/(x² + 2x + 1) = 1/(x + 1) - 1/(1 - x) [-1/3]
• 49 x/(x² - 6x + 9) - 6/(x² - 9) = 1/(x + 3) [Impossibile]
• 50 1/(x² - 9) + 1/(x² - x - 6) = 2/(x² + 2x - 3) [-7/5]
• 51 1/(2x² + 5x - 3) + 1/(x² - 9) = 1/(2x² - 7x + 3) [7/2]
• 52 3/(x - 1) + 5x/(2x + 4) = (5x² + x + 12)/(2x² + 2x - 4) [forall x in R - {-2, 1}]

n 47

1/(4x² - 4x) + 1/(3x²) = 1/(3x² - 3x³)

1/(4x(x - 1)) + 1/(3x²) = 1/(3x²(1 - x))

1/(4x(x - 1)) + 1/(3x²) = - 1/(3x²(x - 1))

c.e.

4x != 0 -> x != 0

3x² != 0 -> x² != 0 -> x != 0

(x - 1) != 0 -> x != 1

m.c.m. = 12x²(x - 1)

3/(12x²(x - 1)) + 4/(12x²(x - 1)) = - 4/(3x²(x - 1))

3x + 4(x - 1) = -4

3x + 4x - 4 = -4

3x + 4x = 0

7x = 0

x = 0

Non accettabile -> equazione impossibile

~ o ~ o ~

m 48

2/(x+1) - 1/(x^2+2x+1) = 1/(x+1) - 1/(1-x)

2/(x+1) - 1/(x+1)² = 1/(x+1) + 1/(x-1)

c.e.

x+1 != 0 -> x != -1     =>     x != +-1

x-1 != 0 -> x != 1

m.c.m. = (x+1)²(x-1)

2(x+1)²(x-1)/(x+1) - (x+1)²(x-1)/(x+1)² = (x+1)²(x-1)/(x+1) + (x+1)²(x-1)/(x-1)

2(x+1)(x-1) - (x-1) = (x+1)(x-1) + (x+1)²

2(x²-1) - x + 1 = x² - 1 + x² + 2x + 1

2x² - 2 - x + 1 = 2x² + 2x

-x - 2x = +2 -1

-3x = 1

3x = -1

x = -1/3

~ o ~ o ~

n°49

x/(x² - 6x + 9) - 6/(x² - 9) = 1/(x + 3)

x/(x - 3)² - 6/((x - 3)(x + 3)) = 1/(x + 3)

e.s.

x - 3 != 0 -> x != 3

x + 3 != 0 -> x != -3

=> x != ± 3

m.c.m. = (x - 3)²(x + 3)

x(x - 3)²(x + 3)/(x - 3)²(x + 3) - 6(x - 3)²(x + 3)/(x - 3)(x + 3) = (x - 3)²(x + 3)/(x + 3)

x(x + 3) - 6(x - 3) = (x - 3)²

x² + 3x - 6x + 18 = x² - 6x + 9

+3x - 6x + 6x = 9 - 18

3x = -9

x = -9/3

x = -3 non accettabile -> equazione impossibile

m 50

1/(x²-9) + 1/(x²-x-6) = 2/(x²+2x-3)

1/((x-3)(x+3)) + 1/((x-3)(x+2)) = 2/((x+3)(x-1))

e.e.

x != ±3

x+2 != 0 -> x != -2

x-1 != 0 -> x != 1

m.c.m. = (x-3)(x+3)(x+2)(x-1)

(x+2)(x-1) + (x+3)(x-1) = 2(x-3)(x+2)

x²+2x-x-2 + x²+3x-x-3 = 2(x²-x-6)

2x²+2x-x+3x-x-5 = 2x²-2x-12

5x = +5-12

5x = -7

x = -7/5

n° 51

1/(2x² + 5x - 3) + 1/(x² - 9) = 1/(2x² - 7x + 3)

Scomponiamo:

2x² + 5x - 3 è un trinomio del tipo: ax² + bx + c

con a != 1

calcoliamo il suo doppio a·c -> 2·-3 = -6

cerchiamo 2 numeri p e q tali che p·q = -6

e p + q = b

quindi -1 e +6 -> p = -1 e q = +6

riscriviamo il trinomio nella forma: ax² + px + qx + c

quindi 2x² - x + 6x - 3 = ed ora fattorizziamo

= x(2x - 1) + 3(2x - 1)

= (2x - 1)(x + 3) è il trinomio scomposto

riscriviamo per l'altro trinomio:

2x² - 7x + 3

a·c = 2·(3) = +6

b = -7

p·q = +6

p + q = -7

p = -1 e q = -6

2x² - x - 6x + 3

x(2x - 1) - 3(2x - 1) = (2x - 1)(x - 3)

abbiamo allora i monomi fattori:

1/((2x - 1)(x + 3)) + 1/((x - 3)(x + 3)) = 1/((2x - 1)(x - 3))

imponiamo le e.e.

e.e.: x != +-3 ^ 2x != 1

x != 1/2