Equazioni frazionarie di primo grado esercitazione 1

Esercizi di algebra

Esercitazione 1

Equazioni frazionarie di primo grado

La risoluzione di un'equazione frazionaria

1' passo

Si determinano le condizioni di esistenza (c.e.) delle frazioni algebriche che compaiono nell'equazione dopo aver scomposto i denominatori;

2' passo

Si calcola il minimo comune multiplo (m.c.m.) e lo si moltiplica per ogni membro in modo da ottenere un'equazione intera. Si risolve quindi l'equazione ottenuta;

3' passo

Si confrontano le soluzioni trovate con le c.e. e si scartano eventuali soluzioni che non soddisfano tali condizioni.

Esempio

1/(x²-4) - 2/(x+2) = 3/(x-2)

С scomponiamo il primo denominatore:

x²-4 = (x-2) (x+2) e una differenza di 2 quadrati

Imponiamo le c.e.

x-2 != 0 -> x != 2

x+2 != 0 -> x != -2

calcoliamo il m.c.m = (x-2) (x+2)

moltiplichiamo per ogni membro dell'equazione e semplifichiamo:

1/(x-2)(x+2) · 1/(x-2)(x+2) = 3/(x-2)(x+2)

Come?

1 - 2(x-2) = 3(x+2)

1 - 2x + 4 = 3x + 6

-2x - 3x = 6 - 4 - 1

-5x = 6 - 5

-5x = 15

x = -1

x = -1/5

otteniamo il 2° p.d.e. (2 volte)

principioohequivalente

poiché la soluzione soddisfa le e.s. essa è accettabile.

Risolvere le seguenti equazioni

• 9) 2 - 1/x = 0
• 10) 1/x + 3 = 0
• 11) (2x + 6)/(x² - 1) = 0
• 12) (x - 1)/(x² + 2x - 3) = 0
• 13) (x - 2)/(x + 3) = 1/2
• 14) (x - 2)/(x + 3) = (x + 1)/(x - 1)
• 15) x/(x - 1) = (x + 2)/(x - 3)
• 16) 2x/(x - 3) = (2x + 1)/(x + 2)
• 17) (2x + 1)/(x² - 2x + 3) = 0
• 18) 2x/(2 - x) + 1/3 = 0
• 19) 2/(x + 3) + 3/2 = -1/4 + 3
• 20) 3/x - 1/(x + 2) = 4/(x² + 2x)

m° 9

2 - 1/x = 0

2x - 1/x . x = 0

2x - 1 = 0

2x = 1

2/2 x = 1/2 -> x = 1/2

c.e. x != 0

m.c.m. = x

e dividiamo per 2

m° 10

1/x + 3 = 0

1/x . x + 3.x = 0

1 + 3x = 0

3x = -1

3x/3 = -1/3

x = -1/3

c.e. x != 0

m.c.m. = x

dividiamo per 3

m° 11

2x + 6 / x² - 1 = 0

2x + 6 / (x - 1)(x + 1) = 0

scaliamo il denominatore

c.e.

x - 1 = 0 -> x != 1

x + 1 = 0 -> x != -1

m.c.m. = (x - 1)(x + 1)

2x + 6 / (x - 1)(x + 1) . (x - 1)(x + 1) = 0

2x + 6 = 0

2x = -6

x = -6/2

x = -3

n° 12

(x - 1)/(x² + 2x - 3) = 0

(x - 1)/((x - 1)(x + 3)) = 0

scomponiamo il trinomio

x² + sx + p = 0

s = +1 e p = -3

i numeri sono -1 e +3

C.E.

x - 1 != 0 → x != 1

x + 3 != 0 → x != -3

m.c.m. = (x - 1)(x + 3)

(x - 1)/((x - 1)(x + 3)) · (x - 1)(x + 3) = 0

x - 1 = 0

x = 1

la soluzione non è accettabile

perché non soddisfa la C.E.

l'equazione è impossibile.

n° 13

(x - 2)/(x + 3) = 1/2

C.E.

x + 3 != 0 → x != -3

m.c.m. = 2(x + 3)

- (x - 2)/(x + 3) . 2(x + 3) = 1/2 . 2(x + 3)

2(x - 2) = x + 3

2x - 4 = x + 3

2x - x = 4 + 3

x = 7

n° 14

(x - 2)/(x + 3) = (x + 1)/(x - 1)

C.E.

x + 3 != 0 → x != -3

x - 1 != 0 → x != 1

m.c.m. = (x + 3)(x - 1)

(x - 2)/(x + 3) . (x + 3)(x - 1) = (x + 1)/(x - 1) . (x + 3)(x - 1)

(x - 2)(x - 1) = (x + 1)(x + 3)

x² - 2x - x + 2 = x² + x + 3x + 3

-2x - x - x - 3x = 3 - 2

-7x = 1

x = -1/7

m° 15

x/(x-1) = (x+2)/(x-3)

C.E.

x-1 != 0 -> x != 1

x-3 != 0 -> x != 3

m.c.m. = (x-1)(x-3)

x/(x-1) . (x-1)(x-3) = (x+2)/(x-3) . (x-1)(x-3)

x(x-3) = (x+2)(x-1)

x² - 3x = x² + 2x - x - 2

-3x - 2x + x = -2

-4x = -2

x = 2/4

x = 1/2

m° 16

2x/(x-3) = (2x+1)/(x+2)

C.E.

x-3 != 0 -> x != 3

x+2 != 0 -> x != -2

m.c.m. = (x-3)(x+2)

2x/(x-3) . (x-3)(x+2) = (2x+1)/(x+2) . (x-3)(x+2)

2x(x+2) = (2x+1)(x-3)

2x² + 4x = 2x² + x - 6x - 3

4x - x + 6x = -3

9x = -3

x = -3/9

x = -1/3

n.17

(2x+1)/(x²-2x+3) = 0

(2x+1)/(x²-2x+3)

2x+1 = 0

2x = -1

x = -1/2

scomponiamo il trinomio

x²-2x+3

x²+sx+p

s = -2 e p = +3

non ci sono 2 numeri reali il cui prodotto è +3 e la somma è -2

C.E.

x²-2x+3 != 0    Vx e R

il trinomio non è compiuto e quindi non nullo.

n.18

2x/(2-x) + 1/3 = 0

C.E.

2-x != 0 -> x != 2

m.c.m. = 3(2-x)

2x/(2-x) - 3(2-x) + 1/3 = 0

6x + 2 - x = 0

6x - x = -2

5x = -2

x = -2/5