Equazioni frazionarie di primo grado

Algebra del primo biennio

Esercitazione 1

Equazioni frazionarie di primo grado

La risoluzione di un'equazione fratta

1. Determiniamo le condizioni di esistenza (C.E.) delle frazioni algebriche che compaiono nell’equazione (cioè avendo composti i denominatori).
2. Si calcola il minimo comune multiplo (m.c.m.) e lo si moltiplica per ciascun membro in modo da ottenere un'equazione intera. Si risolve quindi l’equazione ottenuta.
3. Si confrontano le soluzioni trovate con le C.E. e si scartano eventuali soluzioni che non soddisfano tali condizioni.

Esempio

¹⁄_{x - 1} - ⁄_{x + 2} = ⁄_{x - 2}

Scomponiamo il primo denominatore: (x - 1)(x - 2)(x + 2) è una differenza di due quadrati.

Imponiamo le C.E.: x - 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2 x + 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ -2

Calcoliamo il m.c.m. = (x - 2)(x + 2)

Moltiplichiamo per esso un membro dell'equazione e risolviamo.

Risolvere le seguenti equazioni

1. ²⁄_x - ¹⁄_x = 0[1]
2. ¹⁄_x + 3 = 0[−3]
3. ^{2x + 6}⁄_{x² - 1} = 0[−3]
4. ^{−x - 1}⁄_{x² + 2x - 3} = 0[Impossibile]
5. ^{x - 2}⁄_{x + 3} = ^{x + 1}⁄₂[7]
6. ^{x - 2}⁄_{x + 3} = ^{x + 1}⁄_{x - 1}[−1]⁄₇
7. ^x⁄_{x - 1} = ^{x + 2}⁄_{x - 3}[1]⁄₂
8. ^2x⁄_{x - 3} = ^{2x + 1}⁄_{x + 2}[3]
9. ^{2x + 1}⁄_{x² - 2x + 3} = 0[−1]⁄₂
10. ^2x⁄_{2 - x²} + ¹⁄₃ = 0[2]⁄₅
11. ⁻²⁄_{x + 3} + ³⁄_{1 - 4} = ¹⁄₄ + 3[7]⁄₅
12. ³⁄_{x + 2} = ¹⁄_{x² + 2x} = ⁴[−1]

m^s2⁄_x = 0

2x = 0

x = 0

C.E. x ≠ 0

m.c.m. = x

(x = 0) && (x ≥ 2)

e dividiamo per 2

2x < 1 ⁄ 2 -> x ≥ 2

m₁1 ⁄ x + 3 = 0

1 &plus; 3x = 0

3x = -1

x = -1 ⁄ 3

e moltiplico per 3

m₁₁^{2x &plus; 6}⁄_2x-1 = 0

2x &plus; 6 = 0

_(x-1)(x+1)

2x &plus; 6 = 0 ->C.E.

x-1 ≠ 0 -> x ≠ 0

x &plus; 2 ≠ 0 -> x ≠ -1

m.c.m. = (x-1) (x-1)

_{(x-1) (x+1)}

2 x x 3 = 0

2 x = -6

x = ⁶/₂

x = -3

x + 1

x² + 3 x + 2x - 1

(x - 1) (x + 3) = 0

x - 1

(x - 1) (x + 3)

x - 1 = 0

x = 1

Scomponiamo il trinomio

x² + 5 x + p = 0

s + pp = 3

I numeri sono -1

C.E.: x + 1 ≠ 0 ➔ x ≠ -1

x + 3 ≠ 0 ➔ x ≠ -3

(x - 1) (x + 3) = 0

x = 1

La soluzione non è accettabile perché non soddisfa le C.E.

L'equazione è impossibile.

M 13x-2/x+3 = 2x-2 = 2(x+3)

x-2 = 2x + 6

x - 2x = 6 + 2-x = 8

x = -8

M 14x-2/x+3 = x+1/x-1

x≠-3 & x≠1

m.c.m. = (x+3)(x-1)

(x-2)(x-1) = (x+1)(x+3)

x² - x - 2x + 2 = x² + 3x + x + 3

x² - 3x = 3x + 3 - 2-x = -1

x = -1

n° 15x/(x+1) = (x+2)/(x-3)

x(x-3) - (x+2)(x+1)/(x-3)(x+1)

x² - 3x = x² + 3x + 2x + 2

-3x = 2x + x + 2

-3x - 2x = x = -2(-) -4x = -2

x = 2/4

x = 1/2

n° 169/(x-3) = (2x+1)/(x+2)

9(x+2) = (2x+1)(x-3)/(x-3)(x+2)

9x + 18 = 2x² + x - 6x - 3

9x + 18 = 2x² - 5x - 3

(-9x) (-18) x = -3

x = 3/9

x = 1/3

m 173x + 1x² - 2x + 33x + 1x² - 2x + 3

x² - 2x + 3 = 0

3x + 1 = 0

3x = -1

x = -¹/₃

Scorporiamo il trinomio

x² - 2x + 3

x² + Sx + P

S = -2 e P = 3

Non ci sono i numeri reali

J il prodotto ò -2 * 3

La somma è -2

C.E.: x² - 2x + 3 ≠ 0 ∀ x ∈ ℜ

Il trinomio non è scomponibile

Il numeratore non è nullo

m 189x + 19x² + 1  ≠ 0

C.E. 9 ≠ x   → * 9 → x ≠ 9