Due corpi ed una grossa puleggia

Due corpi ed una grossa puleggia: dinamica rotazionale. Due corpi ed una grossa puleggia: dinamica rotazionale

Un corpo di massa M = 2 Kg, posto su di un piano inclinato (θ = 30°) senza attrito, è connesso, mediante una cordicella leggera che passa attraverso una grossa puleggia di massa m₀ = 0,2 Kg e raggio R, ad un altro corpo di massa m = 0,5 Kg che cade verticalmente per effetto della gravità (Figura 7.5). Determinare le tensioni T₁ e T₂ sulla cordicella, il modulo ed il verso dell’accelerazione del sistema. Stabilire infine quale dovrebbe essere il valore di m₀ affinché, trascurando la massa della puleggia, l’errore percentuale sulla misura dell’accelerazione sia dell’1%.

[Nota: Il momento d’inerzia della puleggia sia: I = (½) m₀ R²]

Poiché non conosciamo a priori il verso del moto del sistema, possiamo stabilire uno convenzionale. Ad esempio, per la massa M, consideriamo positivo il moto in salita sul piano inclinato e conseguentemente, per la massa m, sarà positivo il moto in discesa. Questa scelta ci consente di individuare come positivo il verso orario di rotazione della puleggia.

Dopo questa premessa, esaminiamo separatamente le forze che agiscono su ciascuno dei due corpi e sulla puleggia. Con l’aiuto della Figura 7.5, per quanto concerne la massa M, ricordando che la forza netta lungo la verticale al piano inclinato deve essere nulla, possiamo scrivere le equazioni:

{ Ma = T₁ – M g senθ ₍₁₎
0 = M g cosθ – N ₍₂₎

Per la massa in caduta libera vale invece l’equazione:

m a = m g – T₂ ₍₃₎

Sulla puleggia agiscono i due distinti momenti meccanici delle tensioni rispetto al centro della puleggia. Dopo aver osservato che T1 e T2 sono tangenziali alla puleggia (T1 ⊥ R; T2 ⊥ R quindi senα = 1) e ricordando che abbiamo scelto come verso positivo la rotazione oraria, i momenti scalari sono i seguenti:

M₁ = - T₁ R
M₂ = + T₂ R

Pertanto il momento risultante è:

M_R = (T₂ - T₁) R

Indicata con α l’accelerazione angolare della puleggia e detto I il suo momento d’inerzia, per il teorema fondamentale della dinamica rotazionale deve essere:

M_R = I α

e dunque vale l’equazione:

(T₂ - T₁) R = I α

Le equazioni (1), (3), (4) [la (2) risulta inutile per i nostri scopi], combinate insieme, forniscono il sistema scalare nelle incognite T₁, T₂ ed a che risolve il problema:

M a = T₁ - M g senθ
m a = m g - T₂
(T₂ - T₁) R = I α

Per determinare a possiamo sommare membro a membro le prime due equazioni del sistema ottenendo:

(M + m) a = m g - M g senθ - (T₂ - T₁)

Dalla terza equazione ricaviamo invece:

(T₂ - T₁) = ^{I α}/_R

Combinando la (6) con la (5) si trova:

(M + m) a = m g − M g senθ − _{I α}/_R

Ricordando infine che α = a/R e che I = (½) m₀ R² resta l’equazione nell’unica incognita a:

(M + m) a = m g − M g senθ − _{a m0}/2

dalla quale otteniamo facilmente:

a = _{2 g (m−M senθ)}/_{2 M + 2 m + m0} (7)

Sostituendo nella (7) i dati numerici proposti dal testo si trova il risultato:

a = −₅/₂₆ g m·s⁻²

Il segno meno indica semplicemente che il verso del moto è contrario a quello da noi scelto come positivo. Dunque la massa M scende lungo il piano inclinato mentre m sale verticalmente e la puleggia ruota in senso antiorario.

Per calcolare le tensioni, possiamo utilizzare le prime due equazioni del sistema risolvente ottenendo:

T₁ = M (g senθ + a) (8)
T₂ = m (g − a) (9)

Sostituendo i dati numerici ed il valore già dedotto di a ricaviamo infine:

T₁ = ₈/₁₃ · g ≅ 0,62 KgP
T₂ = ₃₁/₅₂ · g ≅ 0,60 KgP

Valori questi, per altro, molto simili tra loro. Se ora confrontiamo il valore di a dedotto dalla (7) con quello ottenuto nel problema 2.2 [equazione (6)] al capitolo II, è facile rendersi conto che i due risultati diventano identici se nella (7) poniamo m₀ = 0. Infatti nel problema 2.2, che è sostanzialmente identico a quello che stiamo svolgendo, avevamo trascurato la massa della puleggia. Per rispondere all’ultima