Due corpi costituiti da una serie di pesetti

Due corpi costituiti da una serie di pesetti

Conservazione della quantità di moto

Due corpi costituiti da una serie di pesetti

Conservazione della quantità di moto

Due corpi, ciascuno costituito da una serie di pesetti, sono connessi con una leggera corda che passa attraverso una carrucola di peso trascurabile, di 5,0 cm di diametro. Non vi è attrito. I due corpi sono inizialmente allo stesso livello e ciascuno ha una massa di 500 gr.

1. Indicare la posizione del centro di massa.
2. Si trasferiscono 20 g da un corpo all'altro senza permettere al sistema di muoversi. Indicare la nuova posizione del centro di massa.
3. Si lasciano liberi i due corpi. Descrivere il moto del centro di massa e determinare la sua accelerazione.

a) Due corpi sono inizialmente allo stesso livello: il loro centro di massa, per ovvie ragioni di simmetria, sarà allo stesso livello dei centri dei due corpi e nel punto medio del segmento che li unisce, in quanto le masse dei due corpi sono uguali. Questo in base all’osservazione già fatta che se un sistema di corpi ammette uno o più assi di simmetria, il centro di massa si trova su questi.

b) Nel caso che le due masse m₁ e m₂ siano diverse, non si hanno più due assi di simmetria come prima, ma uno solo e precisamente quello che passa per i centri dei due corpi. Il centro di massa si trova su tale asse.

Prendiamo come riferimento un asse x, coincidente con l’asse di simmetria, con l’origine O nel punto medio del segmento congiungente i centri dei due corpi. Si ha la massa m₁ nel punto x₁ = - d/2 ed è la massa m₂ nel punto x₂ = d/2 se d è il diametro della carrucola.

Il centro di massa ha coordinata x data da: x̄ = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂), dove m₁ = 480 gr ed m₂ = 520 gr, e d/2 = 2,5 cm.

x = (–480*2.5 + 520*2.5) / 1000 = 40*2.5 / 1000 = 0.1 cm

Quindi il centro di massa è spostato di 0,1 m verso il corpo più pesante, dal punto medio della congiungente.

c) Il centro di massa di un sistema si muove come se tutta la massa del sistema fosse concentrata nel centro di massa stesso, e tutte le forze esterne fossero applicate in quel punto. Le forze esterne del sistema sono la forza P, di intensità 2T, la forza m₁g e la forza m₂g.

È necessario determinare T, ma per far questo è necessaria la conoscenza dell’accelerazione con cui si muovono i due corpi. Pertanto è più semplice determinare il moto del centro di massa, tenendo conto che (m₁ + m₂) a_CM = m₁a₁ + m₂a₂, dove a₁ = a₂ = a è l’accelerazione comune.