L'energia di due corpi e una carrucola

L’energia di due corpi e una carrucola

Lavoro ed energia

L’energia di due corpi e una carrucola

Lavoro ed Energia

Un corpo, di massa m₂ = 0,4 kg, appeso ad una cordicella inestensibile e di massa trascurabile, cade verticalmente trascinando su di un piano orizzontale liscio, un corpo di massa m₁ = 0,6 kg (Figura 4.7) percorrendo il tratto h = 5 m. Calcolare le forze nette F₁ ed F₂ che agiscono sulle due masse ed il lavoro compiuto da ciascuna di esse. Verificare che il lavoro totale compiuto dal sistema eguaglia, in valore assoluto, la variazione dell’energia potenziale della massa m₂. Calcolare infine la velocità raggiunta dalle due masse alla fine del percorso h. Risolvere poi il problema immaginando che il piano orizzontale sia scabro con coefficiente di attrito dinamico μ = 0,2. È possibile in tal caso applicare il principio di conservazione dell’energia per valutare la velocità finale dei due blocchi (approssimare i risultati alla prima cifra decimale e considerare, nei calcoli g = 9,8 m/s²)?

Equazioni del moto

In analogia a quanto già visto nel problema 2.1 al capitolo II, le equazioni scalari del moto delle due masse sono:

F₁ = m₁ a = T

F₂ = m₂ a = m₂ g - T (1)

Dalle (1), eliminando la tensione del filo T, è possibile ricavare l'accelerazione costante a:

a = m₂ g / (m₁ + m₂)

Conoscendo l'accelerazione è agevole calcolare le forze F₁ ed F₂:

F₁ = m₁m₂g / (m₁ + m₂) ≅ 2,4 N

F₂ = m²g / (m₁ + m₂) ≅ 1,6 N

Ed anche il lavoro compiuto dalle due forze nonché quello totale L_T:

L₁ = F₁ h ≅ 11,8 J

L₂ = F₂ h ≅ 7,8 J

L_T = L₁ + L₂ ≅ 19,6 J

La variazione dell'energia potenziale E_p della massa m₂, dopo aver fissato il livello zero dell'energia potenziale alla fine del percorso h, è:

ΔE_p = 0 - m₂ g h = - m₂ g h ≅ -19,6 J

Dunque è verificato che:

L_T = |ΔE_p| ≅ 19,6 J

Velocità delle due masse

Applicando ora il principio di conservazione dell’energia, dopo aver rilevato che tutta l’energia potenziale della massa m₂ viene trasformata in energia cinetica dei due blocchi, otteniamo:

m₂ g h = (½) m₁ v² + (½) m₂ v² (2)

La velocità v è evidentemente la stessa per le due masse dato che esse, legate dalla cordicella, si muovono entrambe con la medesima accelerazione. Dalla (2) è pertanto facile dedurre v:

v = √(2 m₂ g h / (m₁ + m₂)) ≈ 6,3 m/s

Si osservi che il teorema delle forze vive (lavoro totale = variazione dell’energia cinetica):

L_T = L₁ + L₂ = (½) m₁ v² + (½) m₂ v²

fornisce il medesimo risultato per v, avendo appunto dimostrato che L_T = |ΔE_P|.

Dunque:

v = √(2 L_T / (m₁ + m₂)) ≈ 6,3 m/s

Piano orizzontale scabro

Trattiamo ora la seconda parte del problema. Se il piano orizzontale è scabro, le equazioni (1) vengono modificate nel modo seguente:

{ F₁ = m₁ a = T – m₁ g μ

F₂ = m₂ a = m₂ g – T

Essendo f = – m₁ g μ la forza di attrito radente. In questo caso il valore dell’accelerazione del sistema è:

a = g (m₂ – μ m₁) / m₁ + m₂

Possiamo così calcolare le forze:

F₁ = m₁ g (m₂ – μ m₁) / (m₁ + m₂) ≈ 1,6 N

F₂ = m₂ g (m₂ – μ m₁) / (m₁ + m₂) ≈ 1,1 N