Disequazione prodotto minore di zero

Esercizio disequazione con arcocoseno, logaritmo, seno e coseno

Si risolva la disequazione \[ \left[ \arccos \left( \log_{\frac{1}{2}} |1 - \sin x| \right) - \frac{\pi}{2} \right] \cdot \sqrt{\cos^2 x - 3 \cos x} \le 0. \]

Esercizio disequazione con arcocoseno, logaritmo, seno e coseno

Si risolva la disequazione \[ \left[ \arccos \left( \log_{ \frac{1}{2}} |1 - \sin x| \right) - \frac{\pi}{2} \right] \cdot \sqrt{\cos^2 x - 3 \cos x} \leq 0. \]

Si risolva la disequazione \[ \left[ \arccos \left( \log_{\frac{1}{2}} (1 - \sin x) \right) - \frac{\pi}{2}, \sqrt{\cos^2 x - 3 \cos x} \right[ \le 0 \]

Campo di esistenza

Per prima cosa stabiliamo il campo di esistenza dell'espressione a primo membro, osservando che esso è costituito da:

• Una funzione trigonometrica arcocoseno definita per \(-1 \le x \le 1\).
• Una funzione (logaritmo) avente un argomento maggiore di zero, ma essendo l'argomento un valore assoluto esso risulterà sempre maggiore di zero, a meno che non sia propriamente zero e quindi dovrà essere necessariamente diverso.
• Una funzione radice quadrata definita per valori positivi dell'argomento ovvero per i valori dell'argomento maggiori o uguali a 0.

Pertanto risulta essere \(-1 \lt \log_{\frac{1}{2}} (1 - \sin x) \lt 1\)

\(1 - \sin x \neq 0\)

\(\cos^2 x - 3 \cos x \ge 0\)

Prima disequazione

Per la prima disequazione si ha che: ricorrendo alla definizione di logaritmo, possiamo scrivere \( - \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right) - \log_{2} z = \log_{2} z \) e \( 1 - \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right) \log_{2} z \) perciò la disequazione assume la forma:

\(\log_{2} z \le \log_{2} (1 - \sin x) \le \log_{2} \frac{1}{2}\)

Ora essendo il logaritmo in base \( \frac{1}{2} \) una funzione decrescente ovvero è compreso tra 0 e 1, occorre passando all'argomento cambiare il verso del simbolo di disuguaglianze e quindi equivale a:

\(\frac{1}{2} \le (1 - \sin x) \le 2\)

Che equivale a risolvere il seguente sistema:

\(\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2} \lt 1 - \sin x & \to & - \sin x \gt \frac{1}{2} & \to & \sin x \lt -\frac{1}{2} \\ (1 - \sin x \lt 2 & \to & 1 - \sin x \lt 2) & \to & \sin x \lt 2 - 1 \lt 1 \end{matrix} \right.\)

\(\sin x \le \frac{1}{2}\)

\(\sin x \gt -1\)

\(2k \pi \le x \lt \frac{7 \pi}{6} + 2k \pi \wedge \frac{5 \pi}{6} + 2k \pi \lt x \lt 2 \pi + 2k \pi\)

\(\left[ -\frac{\pi}{6} \lt x \lt \frac{\pi}{6} + 2k \pi \wedge \frac{5 \pi}{6} + 2k \pi \lt x \lt \frac{7 \pi}{6} + 2k \pi \right]\)

\( \forall x \in \mathbb{R} \)

\[\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \frac{13\pi}{6} + 2k\pi\]

\[\forall x \in \mathbb{R}\]

Seconda disequazione

Per la seconda disequazione invece:

\[\cos x - 3 \cos x \ > 0 \Rightarrow \cos x (\cos x - 3) > 0 \Rightarrow \cos x \le 0\]

\[\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\]

Quando il sistema iniziale è costituito dalle seguenti soluzioni:

\[\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\]

Si ha che l'espressione che definisce la disequazione in campo reale se e solo se:

\[\frac{5\pi}{6} + 2k\pi = x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\]

Quindi abbiamo che in questi intervalli il fattore \(\ne 1(t)\) è positivo o nullo, i... ossia:

\[...\cos x(\cos x - 3)\[...\]

Impossibile

\[...\] Cioè se \[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\]

Per cui la disequazione iniziale equivale alla seguente:

\[\arccos\left(\log \frac{1 - \sin x}{x}\right) - \frac{\pi}{2} \le 0\]

\[\arccos\left(\frac{\log 1 - \sin x}{x}\right)\le \frac{\pi}{2}\]

\[...\]

\[\frac{1}{2} (1 - \sin x | che equivale a risolvere il sistema (1)\[...\]1 - \sin x \le

La prima disequazione significa trovare quei valori per cui:

\[-1 - \sin x \le 2\]

Dalla prima segue:

\[\frac{1}{2} - 1 \le \sin x = \frac{-3}{2} \Impossibile