Corpo rigido

Sistema di punti materiali

Un sistema di punti materiali è un insieme di tali punti che hanno un confino. Considerato un sistema di riferimento in esso ci sono h punti materiali di massa m, ciascuno caratterizzato da un vettore posizione.

È noto che tra due punti materiali agiscono forze interne e forze esterne, per cui nel sistema di punti materiali possiamo considerare le equazioni del moto di ogni punto come:

m_i a_i = Σ_j≠i F_ij⁽ⁱ⁾ + F_i^(e)

m_k a_k = Σ_j≠k F_kj⁽ⁱ⁾ + F_k^(e)

Per cui la risultante delle forze totali del sistema è:

ℝ^(TOT) = Σ_k m_k a_k = ℝ⁽ⁱ⁾ + ℝ^(e)

Tuttavia so che la risultante delle forze interne ℝ⁽ⁱ⁾ è uguale a 0 poiché:

ℝ⁽ⁱ⁾ = Σ_k Σ_j≠k F_kj⁽ⁱ⁾ = 1/2 Σ_k Σ_j F_kj⁽ⁱ⁾ + 1/2 Σ_k Σ_j F_jk⁽ⁱ⁾

Quindi ritornando all'equazione 1 possiamo scrivere:

Σ_k m_k a_k = Σ_k F_k^(e) [Risultante delle forze esterne ℝ^(e)]

Sistema di punti materiali

Un sistema di punti materiali è un insieme di tali punti che hanno un confine. Considerato un sistema di riferimento in esso ci sono h punti materiali di massa mᵢ, ciascuno caratterizzato da un vettore posizione.

È noto che tra due punti materiali agiscono forze interne e forze esterne, per cui nel sistema di punti materiali possiamo considerare le equazioni del moto di ogni punto come:

mᵢ aᵢ = Σ_j≠i F_ij⁽ⁱ⁾ + F_i^(e)

mₖ aₖ = _hΣ_j≠k F_kj⁽ⁱ⁾ + F_k^(e)

Per cui la risultante delle forze totali del sistema è:

R^(TOT) = _hΣ_k mₖ aₖ = R⁽ⁱ⁾ + R^(e)

Tuttavia so che la risultante delle forze interne R⁽ⁱ⁾ è uguale a 0 poiché:

R⁽ⁱ⁾ = _hΣ_{k Σ}^h F_kj⁽ⁱ⁾ = 0

Quindi ritornando all’equazione possiamo scrivere:

_hΣ_k mₖ aₖ = _hΣ_k F_k^(e)

[Risultante delle forze esterne R^(e)]

considerando _k = ^d_k / dt= Σ _{k k} = Σ _{k k} = Σ _k d_k / dt= Σ _k d_k / dt= d Q rappresenta la quantità di moto totale Q

Per cui possiamo dire che

dQ / dt = ^(e)

1° Equazione cardinale della meccanica afferma che la derivata della quantità di moto totale è uguale alla risultante delle forze esterne

se ^(e) = 0

Centro di massa

Considerando un sistema di N particelle puntiformi di massa ₁, ₂, ..., _n, la massa totale del sistema è data da:

M = ₁ + ₂ + ... + _n

Ciascuna particella è caratterizzata dalla massa _n, dalla sua posizione, individuata dal vettore _n, dalla sua velocità _n e dalla sua accelerazione _n

Il centro di massa di un corpo rigido è per definizione il punto in cui è concentrato tutto massa del sistema per cui

⃗_cm = Σ _{k k k} / Σ _{k k}

Media pesata delle masse = _tot = 1/M Σ _{k k}

Derivando si ottiene:

V_CM = ^d_CM/_dt = ¹/_M Σ m_K V_K

Derivando ulteriormente:

a_CM = ^dV_CM/_dt = ¹/_M (Σ m_K a_K)

Quest’ultimo può essere riscritto come

Ma_CM = Σ m_K a_K e applicando la 2^a legge di Newton

Ma_CM = Σ F_K^(e)

Ma per la 1^a eq. cardinale so che:

d^(e)/_dt = R^(e) = Ma_CM

Se Σ F_K^(e) = 0 => il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme

II equazione cardinale

Momento angolare

b_i = nP_i x q_i = nP_i x m_iv_i

Momento angolare totale B = ⁿΣ_i=1 b_i = ⁿΣ_i=1 nP_i x m_iv_i

Derivando:

dB/_dt = ^d/_dt (Σ ( nP_i x m_iv_i)) = ⁿΣ_i=1 d/_dt ( nP_i x m_iv_i) == ⁿΣ_i=1 [ (d/_dt (r_i - Σ_n) x m_iv_i) + (r_i - Σ_n) x m_i]

Derivato della posizione è la velocità v_i = v_n

V_i × m_iv_i - V_Σ × m_iv_i + ΩP_i × m_i a_i == V_e ×^h ∑ _i=1 ΩP_i × m_ia_i + ∑^h_i=1 V_e × m_i v_i =

Momento torcente totale delle forze esterne

M^(e)= M^(e) - V_e × ∑^h_i=1 m_iv_i == M^(e) - V_e × Q

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Δ B^- / Dt = M^(e) - V_Σ × Q

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II eq. cardinale

Momento torcente

m^c = m⁽ⁱ⁾_c + m^(e)_c= 1/_i ΩPi_Σk≠i × F_ki⁽ⁱ⁾ + Ω P_i × F^(e)_i

Momento torcente totale

M^(tot) = M⁽ⁱ⁾ + M^(e) = 1/_i Σ ^h_i=1k≠i ΩP_i × F_⁽ⁱ⁾k + Σ^h_i=1 ΩPi × F^(e)_i

La precessione è il cambiamento della direzione dell’asse di rotazione di un corpo rigido in movimento rotatorio. Se l’asse di rotazione di un corpo ruota attorno ad un secondo asse, si dice che quel corpo è in precessione rispetto al secondo asse.

Es: trottola

Statica di un corpo rigido

La statica si occupa delle condizioni che regolano lo stato di equilibrio in un corpo rigido.

Le condizioni di equilibrio statico per un corpo rigido, inizialmente in quiete, sono:

∑_i R^(e) = 0

∑_i M^(e) = 0

Per ottenere l'equilibrio traslazionale la somma delle forze agenti deve essere uguale a 0

Per ottenere l'equilibrio rotazionale la somma di tutti i momenti è uguale a 0

Se ∑_i R^(e) = 0 si ha l'equilibrio statico del centro di massa v_c.m.=0

Se ∑_i M^(e) = 0 non si ha moto rotatorio

→ Se ∅ è nullo rispetto ad un polo, lo sarà rispetto a qualsiasi altro polo per cui arbitrariamente cercherò di posizionarlo due posizionare il polo.

Suggerimento: nel punto in cui agiscono più forze → così queste non le calcolo

Per la somma delle forze avremo 2 equazioni scalari, una per l'asse x e per l'asse y.

Per la somma dei momenti avremo un'unica equazione scalare lungo l'asse z ortogonale al piano x,y

Dinamica di un corpo rigido

∑ F_x = m a_x     e     H = I α

momento torcante totale