Convergenze serie prodotto fratta seno arcotangente

Convergenze serie, prodotto, fratta, seno, arcotangente

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Studiare la convergenza della serie

∑_n=2→∞ [ (n + sin n) / (3n - arctan n)]ⁿ sin (3n² - 4)

Notiamo che la serie non è a termini positivi, infatti la presenza di sin (3n² - 4) cambia il segno della serie poiché il segno oscilla tra -1 e 1.

Bisogna osservare che non essendo a termini positivi, siamo costretti a considerare il valore assoluto dei termini generale per poi applicare i criteri relativi, quindi:

|[(n + sin n) / (3n - arctan n)]ⁿ sin (3n² - 4)| = [(n + sin n) / (3n - arctan n)]ⁿ |sin (3n² - 4)|

A questo punto possiamo vedere che il primo fattore è senz'altro positivo poiché:

0 0 ∀n>1

Mentre il secondo fattore è senz'altro in modulo minore di 1, essendo |sin x| ≤ 1, ∀x;

Allora abbiamo che:

|[(n + sin n) / (3n - arctan n)]ⁿ |sin (3n² - 4)| ≤ (n + sin n / 3n - arctan n)ⁿ

Abbiamo così ottenuto una serie a termini positivi:

∑_n=1→∞ (n + sin n / 3n - arctan n)ⁿ

La presenza dell'esponente n ci induce a pensare al criterio della radice.

Posto il termine generale, a_n = (n + sin n / 3n - arctan n)ⁿ, calcoliamo il limite:

lim_n→∞ √[a_n] = lim_n→∞ √[(n + sin n / 3n - arctan n)]ⁿ = lim_n→∞ (n + sin n / 3n - arctan n)