Asta con due cavi

Asta con due cavi

Statica

Asta con due cavi

Statica

Un’asta omogenea, di peso mg e lunghezza l, è sospesa ai suoi estremi A e B

mediante due cordicelle leggere ed inestensibili, formanti con le pareti verticali gli

angoli, rispettivamente, φ = 30° e θ = 45° (Figura 8.8). Determinare, nell’ipotesi di

equilibrio del sistema, l’angolo γ che l’asta forma con l’orizzontale e le tensioni T₁ e

T₂ in funzione del peso dell’asta.

(Figura 8.8)

Scomponiamo le tensioni T₁ e T₂ nelle rispettive componenti verticali ed orizzontali e fissiamo il centro dei momenti nel punto A. Inoltre, con l'aiuto della Figura 8.8, osserviamo che l'angolo A B C = 90° − γ + θ = [90° − (γ − θ)], mentre l’angolo che il vettore mg forma con l’asta è (90°−γ). Pertanto è possibile scrivere le seguenti equazioni scalari dell’equilibrio:

{ T₂ senθ – T₁ senφ = 0 T₂ cosθ + T₁ cosφ − mg = 0

{ m g (ℓ/2 ) sen(90 − γ) − T₂ ℓ sen[ 90° − (γ − θ)] = 0

Semplificando ℓ nell’equazione dei momenti e ricordando dalla trigonometria elementare che sen (90°−γ ) = cosγ e che sen[ 90° − (γ −θ )] = cos (γ −θ ), otteniamo il sistema risolvente:

{ T₂ senθ – T₁ senφ = 0 (1) T₂ cosθ + T₁ cosφ − m g = 0 (2) (1/2 ) m g cosγ – T₂ cos(γ −θ )= 0 (3)

Dalle equazioni (1) e (2), che non contengono l’incognita γ, è possibile determinare entrambe le tensioni T₁ e T₂. Successivamente, posto il risultato di T₂ nella (3), potremo ricavare anche γ. Per agevolare i calcoli conviene moltiplicare la (1) per cosφ e la (2) per senφ , ottenendo così:

{ T₂ senθ cosφ − T₁ senφ cosφ = 0 T₂ cosθ senφ + T₁ senφ cosφ − m g senφ = 0

Sommando membro a membro è possibile eliminare T₁ e scrivere:

T₂ (senθ cosφ + cosθ senφ) − m g senφ = 0

Ricordando le formule di addizione espresse dall’identità: senθ cosφ + cosθ senφ = sen(θ + φ ), possiamo ricavare il desiderato valore di T₂ :

T₂ = ^{mg sen φ}/_{sen (θ + φ)}

(4)

Moltiplichiamo ora la (1) per –cosθ e la (2) per senθ ottenendo:

1. –T₂ senθ cosφ + T₁ cosθ senφ = 0
2. T₂ senθ cosφ + T₁ senθ cosφ – mg senθ = 0

Sommando membro a membro le due precedenti equazioni è possibile eliminare T₂ e ricavare T₁. Con passaggi analoghi ai precedenti, si ottiene:

T₁ = ^{mg sen θ}/_{sen (θ + φ)}

(5)

Combinando infine il risultato (4) con la (3), è possibile dedurre l’equazione nell’unica incognita γ:

¹/₂ mg cosγ – ^{mg senφ cos(γ – θ)}/_{sen (θ + φ)} = 0

Dopo aver semplificato il peso mg, la precedente equazione può essere scritta nella forma:

^{cos γ}/_{2 cos(γ – θ)} – ^senφ/_{sen (θ + φ)}

Ricordando che cos (γ – θ) = cosγ cosθ + senγ senθ e, dividendo numeratore e denominatore per cosγ il primo membro dell’equazione precedente, possiamo isolare l’incognita nella forma di tg γ:

¹/_{2 (cosθ + tg γ senθ)} – ^senφ/_{sen (θ + φ)}

Eseguendo il reciproco delle frazioni membro a membro e risolvendo per tg γ, dopo qualche passaggio algebrico, si conclude che:

tg γ = ¹/_senθ [^{sen (θ + φ) – cosθ}/_{2 senφ}]

(5)

Inserendo i dati numerici: θ = 45° e φ = 30° nei risultati ottenuti (4), (5) e (6), dopo