Asta con due cavi

Asta con due cavi

Statica

Un’asta omogenea, di peso mg e lunghezza l, è sospesa ai suoi estremi A e B mediante due cordicelle leggere ed inestensibili, formanti con le pareti verticali gli angoli, rispettivamente, φ = 30° e θ = 45° (Figura 8.8). Determinare, nell’ipotesi di equilibrio del sistema, l’angolo γ che l’asta forma con l’orizzontale e le tensioni T₁ e T₂ in funzione del peso dell’asta.

(Figura 8.8)

Scomponiamo le tensioni T₁ e T₂ nelle rispettive componenti verticali ed orizzontali e fissiamo il centro dei momenti nel punto A. Inoltre, con l'aiuto della Figura 8.8, osserviamo che l'angolo A B C = 90° − γ + θ = [90° − (γ − θ)], mentre l'angolo che il vettore mg forma con l'asta è (90° − γ). Pertanto è possibile scrivere le seguenti equazioni scalari dell'equilibrio:

T₂ senθ − T₁ senφ = 0

T₂ cosθ + T₁ cosφ − mg = 0

mg (ε/2) sen(90° − γ) − T₂ ε sen[90° − (γ − θ)] = 0

Semplificando ε nell'equazione dei momenti e ricordando dalla trigonometria elementare che sen (90° − γ) = cosγ e che sen[90° − (γ − θ)] = cos (γ − θ), otteniamo il sistema risolvente:

T₂ senθ − T₁ senφ = 0 (1)

T₂ cosθ + T₁ cosφ − m g = 0 (2)

(1/2) m g cosγ − T₂ cos(γ−θ) = 0 (3)

Dalle equazioni (1) e (2), che non contengono l'incognita γ, è possibile determinare entrambe le tensioni T₁ e T₂. Successivamente, posto il risultato di T₂ nella (3), potremo ricavare anche γ. Per agevolare i calcoli conviene moltiplicare la (1) per cosφ e la (2) per senφ, ottenendo così:

T₂ senθ cosφ − T₁ senφ cosφ = 0

T₂ cosθ senφ + T₁ senφ cosφ − m g senφ = 0

Sommando membro a membro è possibile eliminare T₁ e scrivere:

T₂ (senθ cosφ + cosθ senφ) − m g senφ = 0

Ricordando le formule di addizione espresse dall'identità: senθ cosφ + cosθ senφ = sen(θ + φ), possiamo ricavare il desiderato valore di T₂:

T₂ = mg senφ / sen(θ + φ) (4)

Moltiplichiamo ora la (1) per -cosθ e la (2) per senθ ottenendo:

-T₂ senθ cosθ + T₁ cosθ senφ = 0

T₂ senθ cosθ + T₁ senθ cosφ - mg senθ = 0

Sommando membro a membro le due precedenti equazioni è possibile eliminare T₂ e ricavare T₁. Con passaggi analoghi ai precedenti, si ottiene:

T₁ = mg senθ / sen(θ + φ) (5)

Combinando infine il risultato (4) con la (3), è possibile dedurre l'equazione nell'unica incognita γ:

1/2 mg cosγ - mg senφ cos(γ - θ) / sen(θ + φ) = 0

Dopo aver semplificato il peso mg, la precedente equazione può essere scritta nella forma:

cosγ / 2 cos(γ - θ) = senφ / sen(θ + φ)

Ricordando che cos(γ - θ) = cosγ cosθ + senγ senθ e, dividendo numeratore e denominatore per cosγ il primo membro dell'equazione precedente, possiamo isolare l'incognita nella forma di tg γ:

1 / 2(cosθ + tgγ senθ) = senφ / sen(θ + φ)

Eseguendo il reciproco delle frazioni membro a membro e risolvendo per tg γ, dopo qualche passaggio algebrico, si conclude che:

tg γ = 1 / senθ [sen(θ + φ) / 2 senφ - cosθ] (5)

Inserendo i dati numerici: θ = 45° e φ = 30° nei risultati ottenuti (4), (5) e (6), dopo