Due masse fissate agli estremi di un asta

Due masse fissate agli estremi di un’asta dinamica del punto materiale

Due masse fissate agli estremi di un’asta dinamica del punto materiale.

Due masse m₁=1,60 Kg e m₂=3,30 Kg fissate agli estremi di un'asta di massa trascurabile parallela al profilo del piano inclinato sul quale entrambe scivolano, si muovono verso il basso e m₁ segue la pista di m₂. L'angolo di inclinazione è θ=30°. Il coefficiente di attrito dinamico tra m₁ e il piano inclinato è μ₁=0,226, mentre tra m₂ ed m₁ il piano è μ₂=0,113.

Calcolare (a) la tensione dell'asta che collega m₁ e m₂ e (b) l'accelerazione comune delle due masse (c). Cambiano le risposte ai quesiti (a) e (b) se è m₂ a seguire la pista di m₁?

Forze agenti su m₂

Su m₂ agiscono la forza peso m₂g, la forza d'attrito f_c2, la tensione T della fune, la forza normale N.

Per la 2^a legge della dinamica x ha: T + N₂ = m₂g + f_c = m₂a_x.

Cioè nel riferimento scelto, essendo a_x diretto secondo l'asse x: m₁gsenθ - f_c1 - T = m₁a_x.

m₂gcosθ - N₂ = 0.

Dove f_c2 = μ_cN₂ = μ_cm₂gcosθ con μ_c coefficiente di attrito dinamico per il secondo blocco.

Si ha m₂gsenθ - μ_cm₂gcosθ - T = m₂a₁.

Equazioni per le masse

Analogamente per la massa m₁, essendo a₁ = a₂ = a e T = T₁ si ha: m₁gsenθ - μ_cm₁gcosθ + T = m₁a.

Mentre per m₂ si riscrive: m₂gsenθ - μ_cm₂gcosθ - T = m₂a.

Da queste due equazioni si ha: m₁gsenθ - μ_cm₁a_xgcosθ + T = m₁gsenθ - μ_cm₁a_xgcosθ - T.

T(1 + m₁/m₂) = m₁gcosθ/(μ_a - μ_c); T(1+1,465/3,30) = 1,65 x 9,8 (cos30°)15.

T = 1,59 da cui T = 1,06 N.

Dire che la nostra scelta arbitraria di T nel diagramma del corpo libero, andava bene.