Appello Algebra e geometria lineare

2^o Appello A.A. 20/21

Calcolo Vettoriale

1. Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ di variabile del parametro K ∈ R, si considerano i seguenti vettori

u_K = (K, 0, K)^t u_K = (K, K, K+1)^t u = (0, 1, 2)^t

R: considiamo che 3 vettori in uno spazio vett.var.le di dim.3 sono L.I. ⇒ sono generatori ⇒ formano una base

⟨u_K ∧ u_K ∧ u⟩ = det|

3 vettori formano una base ⇒ 3 vett. li sono generatori ⇒ sono L.I.

• u_K, u_K sono L.I. ⇔ ∑u_KnK⟩ = 0
• ∑_Ku_KnK = ⟨K, 0, K .:. -K, K+1 :-: K, K+1
• se K &= K ₂†

Esistema un unico (ISOMERICO (rifergo il) sotto al)o (dimensione) della UK（土地 |; utiliza schema il).

Spazi Vettoriali

Dimostro uno del spazio vectorural.

Nello spazio “lettro” ROC superiori considerali sormissiono

W = span {1, x + x², 1 + x, x²() {2}}

W ≡ le span di 3 polinomi che potenzialmente non sono L.I.

Quindi: si dice che 2 ≤ dim W ≤ 3.

Se lo dim W = 2: se di polinomi sono Lin. Dip.

‘‘ dim W = 3: 3 polinomi sono Lin. Ind.

3 polinomi sono L.I. ≡ a(2 + x + x²) + b(1 + x) + c(1 + x + x²) = 0

• implica a + b + c = 0

(2a + b + 4c) + (a + b .: 4c)x + (a + 3c)x² = 0

2° Appello A.A. 20/21

Calcolo Vettoriale

1. Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ e variando del parametro K ∈ R, si considerino i seguenti vettori:

u_K = (K, 0, K)^t u_K = (-K, K, K+1)^t W = (0, 1, 2)^t

Ricordiamo che 3 vettori in uno spazio vettoriale di dimensione 3 ⇒ sono generatori ⇔ forniscono una base

⟨u_K ∧ u_K ∧ W⟩ ≠ 0 ⇒

3 vettori forniscono una base ⇒ 3 vettori sono generatori ⇒ sono L.I.

• u_K, u_K sono L.I. ⇔ Σ u_K, u_K ≠ 0

Σu_K, u_K = ⟨K, 0, K⟩ · ⟨-K, K, K+1⟩ = -K² + K² + K = K

se K ≠ 0, i 2 vettori sono L.D.

Esiste un unico (vettore) al più (per) i due auti scalari

4. Nello spazio vettoriale RQ[≤ 3], si considerò sottospazio:

W = span { 2 - x + x², 1 - x, 4x, x(x²) }

W è lo spazio dei polinomi che potenzialmente non sono L.I.

Quindi si ha che 2 ≤ dim W ≤ 3

S.S. ha dim W = 2 se 3 polinomi sono L.n. D.P.

se ... dim W = 3 se 3 polinomi sono L.n. Ind.

3 polinomi sono L.I. se d(2 - x + x²) + b(1 - x) + c(4 - x²) = 0 ^implica a + b + c = 0

(2a + b + 4c) + (a + b - c)x + (a + 3c)x² = 0

implica 2a + 1b + 2c < 0

2s tavola la s che da me sella

(a + 1c) < 0

(a + 3c < 0

6 3

1 1 0 3

Det = 2 - 3 (1 3 , -1

+ 1(13 3) = 0 => o 1 2 3 o same si no <0

GEOMETRIA ANALITICA

2) Posizione Reciproca di 2 rette

Si considerano le rette R e Sai di equazione cartesiana:

1 x + 2y + 3z = 3

2 x - 1y + z = 0

-3x - 4y + 4z += 32

2 x 2 - 2 y - 2z = -1

2 3

R₂ -2p₁

-3 - 3p₁

R₂ p_R

0 0 3 1 1 0

R₂

rank A = 2

rank A(B) = 3

SI . SISTElica non ha solusiono P E melle necu ni sontulunci vano sucu hill mom concluisior

SISTEMA LINEARI

0

SISTEMI: Nucleo e imgine

Sia A -4 , -3 3 e sia B (-1,3 3 , -3 3) Si sono _lichi

2 6

-2 6 0

RB₁ + 2BR₁

0 1 2 1

0 0 0

RA(RBA ) B 0 0

RA)₁ 1 1 0 3 R_e 6

-3 5

Rank A. rank NB:-2 quindi o ES/mA o dim PKOFHA 3 - 2 = 1

tA(B) = tA(B) 20

30

30

2050

25j / j 21

15

Teoremi di Wolk, x-raggio e di Grassman

Se f: _R⁶ → _R⁶ B lin applicazione lineare inattiva. Sia Z ⊂ _R⁶ un sottospazio vettoriale di _R⁶ tale che f^-1 Im f ≠ ⌀ in _R⁶

Ker f ≫ 0 → dim Ker(f) = dim Im(f) + dim V

dim Ker(f) = ₀

dim Im(f) = 6

⊈⊆ (Im f = _R⁹ implica che dim Z + dim Im f = 6

dim Z = 8 - dim Im f => dim Z 3

16

RANGO DI MATRIX con parametro

Al variare del parametro K si considera la matrice

Δ_K = 23K0 21K0 K22K 230-2

Per: 21K0 0200 0000 00-K^-₃²K

Sol:

• (g-k) ≤ 0
• (2-k) (3-k) ≤ 0
• -K ≠ 0

Se K ≠ -2, 2 o 0 → rango Δ = 3

Se K = 0 2100 0100 000-4 030-2 rango Δ = 3

Se K = 2 2120 0100 000-4 030-4 rango Δ = 2

Se K = 2 2120 0141 004-4 020-2 rango Δ = 3

DIAGONALIZZIONE

TRACCIA e determinante

Sia A =

Sì considera B = A^tA

B = simmetrica quindi ammette unabase ortonormale di autovettori per il teoremaspettrale.

det B = 32 = prodotto autovalori.B non è iniettore.

₁₁( B ) = 10 > 0

det B³ = ( det ʙ )³ = 0

2DIAGONALIZZIONE CON PAIMATROC

si considera emmetrica

polinomio caratteristico

P_A(ʜ) = det ( ʜ = λ I) = det

(ʜ - λ)(((ᵀ - λ)( ʜ - λ) ) + 9 ((6 - ʜ+2)))) + 9(r (ʜ- λ) )=

5λ((ʜ - λ)((+4- ʜ2 +() ʜ)L(+0)2) - λ)

+ 8 ( 2 ( (ʜ)))_{2λ(( ))3((5 ʜ((ʜ2- λ) ʜL6(( ʜq+U))ʜL ʜ(+)(5ʜ)2 44ʜ- λ +(( /5- ʜā))9(3 (+1)))}

- ʜ3 +)) (5+ ʜ( ʜ( ʜ)) λ - 5ʜ +2043ʜ -18)λ - 8ɻ

- 02ʜ2+ 3 (6ʜ

--)λ (9(- ʜλL))ʜɻ)( (,( - ʜ2)_ʜ) -2 ʜ

det _{(^{-1 0 9})} = ... ^(P_n) det ^{(5 -7 9)}

          ^{(-9 -3 -3)}                       (5 -7) (^{-6 -7}) +

          ^{-20 -4 λ)}                       (+16)

                                                                    -20 -5λ (-4λ) +

                                                         λ² + 2λ² + λ -2)

                                                            =(λ -2) (λ+8)

= (R ->0) (λ²-2)

  = λ² - λ² +5 3 9/2             = (λ -2) (λ+5)

= (R ->0) (λ -2) (λ -2) + (R -5)

∀i  h_i ∈ {1, 2},   h_k ha 3 autovett di simm cd e diagonalizz.

->  h -<

λ₁ = -2   max def = mult geo = 3 OK √

λ₂ = 5   max deg = 2

p_{:) λ₂ = 1}

A_h = (^{0 9})            (^{0 9})

               ^{0 -3} R₂ + R_n            (^{0 0 9})

               ^{-20 3} R₃ + R_k           (^{0 0 9})

                                                               rango A = 2

mult geo = dim U = 3-2 = 3 z mult deg 10  ∀i   h - l  mor e

diagonali czasbi e

-> h -<

λ_f = -2

λ = -2 max def = max geos = 1

p_{k :) λ₂ = 2}

A_i = (^{3 0 9})            (^{3 0 9})

               ^{0 -3} R₂ + R_k            (^{0 0})

               ^{-20 3} R₃ + R₂           (^{0 0})     rango A = 1

            3 - 2 = 1-2 = mult geo

                                                        = mult deg

Per h - 2 la matrice diagonalizzabili è

Esiste un solo vettore di li. per cui la matrice A_h non è

diagonalizzabili e

25

Sia consideriamo un retto r₁ passante per P=(1,0,0)^T e parallelo ad

a

x-y-0 e a^mantenere parallelo per i punti Q=(0,y,0)^T

ed R=(0,0,0)^T, parallelo con vettore b=

V_r = λ ^J K

1 1 0

1 0 1

X - Y - Z =

X =

-2X + (Y - 1) + Z = 0

-2X + Y + Z = -1 = 0

h_α(-2 1 1)

retta α

non sono ||

<V_n, h_α> > 2 - 2 + 1 ≠ 0

Verificiamo poi quei punti nelle risposte e punto di intersezione

-2X + Y + Z = 0

quindi.

h ∩ α =

28

Sia al variare del parametro K ∈ R, si considera il sistema lineare:

(x + 2y - z = 2

2x + y + z = 4K

4x + 5y - z = K²)

K² + 2 = 0 quindi