Appello Algebra e geometria lineare

2° appello A.A. 20/21

Calcolo vettoriale

1) Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³, al variare del parametro k in R, si considerano i seguenti vettori

u_k = (k, 0, k)^T     v_k = (-k, k, k + 2)^T     w = (0, 1, 2)^T

Si condizione che 3 vettori in uno spazio vettoriale di dim. 3 sono l.i. <=> sono generatori <=> formano una base

<u_k Λ v_k, w> = det| k   0   k |
-k   k   k+2
0   1   2

= k(2k - (k+2)) + k(-k) = k(k-1) - k² = -k

-k ≠ 0 => i 3 vettori formano una base => i 3 vettori sono generatori => sono l.i.

u_k, v_k sono l. <=> <u_k, v_k> = 0

<u_k, v_k> = <k, 0, k; -k, k, k+1> = -k² + k² + k = -k

se k = 0 i 2 vettori sono l.

Esiste un unico valore di k per cui due vett. e una base sono l.

Spazi vettoriali

Dimensione di spazi vettoriali

4) Nello spazio vettoriale R(x) si considera il sottospazio

W = span{2 + x + x², 1 + x, 4 + x + 2x²}

W è lo spazio di 3 polinomi che potenzialmente non sono l.

Quindi si ha che 2 <= dim W < 3.

Si ha dim W = 2 se i 3 polinomi sono l.i. o p.

dim W = 3 se i 3 polinomi sono l.i.

I 3 polinomi sono l.i. se a(2 + x + x²) + b(1 + x) + c(4 + x + 2x²) = 0

implica a + b + c = 0

(2a + b + 4c) + (a + b + c)x + (a + 2c)x² = 0

2° appello A.A. 20/21

Calcoli vettoriali

1) Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³, al variare del parametro k in R, si considerano i seguenti vettori

u_k = (k, 0, k)^t    v_k = (-k, k, k + 1)^t    w = (0, 1, 2)^t

Si condiziona che 3 vettori in uno spazio vettoriale di dim 3 sono generatori <=> formano una base

<u_k and v_k, w> = det( k   0   k
-k   k   k+1
0   1   2 ) = k(2k - (k+1) + k(-k)

k(k - 1) - k² = -k

-k != 0 => i 3 vettori formano una base -> i 3 vettori sono generatori -> sono L.I.

u_k, v_k sono ⊥ <=> <u_k, v_k> = 0

<u_k, v_k> = (k, 0, k ; -k, k, (k+1)) = -k² + k² + k = -k

se k = 0 i 2 vettori sono +

Esiste un unico valore di k per cui u e v sono ||

Esercizio dimensione di spazi vettoriali

4) Nello spazio vettoriale R(x) si consideri il seguente

W = span {2 + x + x², 1 + x, 4 + x + 3x²}

W è lo span di 3 polinomi che potenzialmente non sono ll.

Quindi si ha che 2 <= dim W < 3.

Si ha dim W = 2 se i 3 polinomi sono L.I.

dim W = 3 se i 3 polinomi son L.I.

i 3 polinomi sono L.I. se a(2 + x + x²) + b(1 + x) + c(4 + x + 3x²) = 0

implica: a + b + c = 0

(2a + b + 4c) + (a + b + c)x + (a + 3c)x² = 0

semplifica {a + b + c = 0
{a + b + c > 0
{a + 3c = 0

si trova ha lo scelta che nulla =>

det(? 1 4)
(1 1 1)
(1 0 3) != 0

det = -2(3) - 2(3-1) + 4(-3) = 0 => i 3 polinomi sono L.

De diam w = 2

Geometria analitica

7) Posizione reciproca di 2 rette

Si considerano le rette r e s di equazione cartesiana:

r: x + 2y + 3z = 1
2x - y + z = 0

s: 3x + y + 4z = 1
x - 3y - 2z = 1

rank A = 2

rank A(B) = 3

=> il sistema non ha soluzioni => le rette non si incontrano mai e sono // non coincidenti

Sistemi lineari

10) Sistema, nucleo e immagine

Sia A = [1 -3 3
-2 -6 0
1 -1 2] e sia B = (13, -6, 3)^T si consideri l'applicazione lineare LA: R³ -> R³ definita da LA(x) = Ax

AX = B hra soluzione?

rank A = rank NB = 2 quindi B e ImA => dim Ker LA = 3 - 2 = 1

LA(B) = AB = (30, 30, 15)^T , /? B e Ker LA

(15) Teoremi di nullita + rango e di Grassmann

Sia f: R⁶ -> R⁸ un applicazione lineare iniettiva. Sia Z C R⁹ un sottospazio vettoriale di R⁹ tale che Z != 0 in F - R³

Ker(f)=0 dim Ker(f) + dim Imf = dim U

dim Ker(f)=0 0 6

dim Imf = 6

Z !=0 Imf = R⁹ implica che dim Z + dim Imf = 9

dim z = 9 - dim Imf = 3

(16) Rango

Rango di matrici con parametro

Al variare del parametro k si consideri la matrice

Ak =
2 1 k 0
k² -2 -2 k
2 1 0 -2

2 1 k 0
2 1 k 0
k² -2 -2 k
2 1 0 -2

2R₂ - k²R₁

0 4-k² 4-k² 2k
0 0 -k -2

(4-k²) != 0

(2-k)(2+k) != 0

k != 2 k != -2

-k != 0

k != 0

se k != -2, 2, 0 rango A = 3

se k = 0

A =
2 1 0 0
0 4 -4 0
0 0 0 -2

rango A = 3

se k = -2

A =
2 1 -2 0
0 0 -4 -4
0 0 +2 -2

rango A = 2

se k = 2

A =
2 1 2 0
0 0 -12 4
0 0 -2 -2

rango A = 3

esiste un solo valore di k per cui il rango vale 2

Diagonalizzazione

1) Traccia e determinanti

Si A = (2 1 0          
(1 1 0          
(0 1 2)

Si considera B = A^t A

A^t = (2 0          
(1 1          
(0 2)

A^t A = (2 0          
(1 1          
(0 2) (2 1 0                  
(0 1 2)

=(4 2 0    
(2 2 2    
(0 2 4)

B è simmetrica quindi ammette una base ortonormale di autovettori per i teorema spettrali

det B = 32 prodotto autovalori => B non e invertibile

tr(B) = 10 > 0

det B³ = (det B)³ = 0

Teorema di Binet.

2) Diagonalizzazione con parametro

Si consideri la matrice A_h = (5 0 9          
(-1 h -3          
(-2 0 -4)

polinomio caratteristico

p_Ah(l) = det(A - lI) = det(5-l 0 9          
-1 h-l -3          
-2 0 -4 - l)

=(5-l)[(h-l)(-4-l)] + 9[-2(h-l)]

= -l³ + (h+9)l² + (-h+2)l - 2h

det(5-l)   9
-1   h-l
-3
-2   0   -4-l

= (h-l) det(5-l)   9
-2   -l-l

= (5-l)(-4-l) + 18

-20 - 5l + 4l + l²

+ l² = (l² - l - 2)

= (h-l)(l² - l - 2)

l² - l - 2 = +3 +3 / 2

= (l - 2)(l + 1)

= (h-l)(l - 2)(l - 1)

se h e {1, 2} h ha 3 autovalori distinti ed e diagonalizz.

se h = 1

l₁ = 2 mult eg = mult geo = 3 ok

l₂ = 1 mult eg = 2

per l₂ = 1 A_h =
6   0   9
-1   0   -3
-2   0   -3

R₂ + R₁

2R₃ + R₁

=4   0   9
0   0   -3
0   0   0

runk A = 2

mult geo = dim U_l = 3 - 2 = 1 != mult deg => per h = 1 non e diagonalizzabile

se h = 2

l₁ = -1 mult eg = mult geo = 1

l₂ = 2 mult eg = 2

per l₂ = 2 A_h =
3   0   9
-1   0   -3
-2   0   -63

R₂ + R₁

3R₃ + 2R₁

=3   0   9
0   0   0
0   0   0

runk A = 1

3 - 1 = 2 = mult geo = mult eg

per h = 2 la matrice e diagonalizzabile

Esiste un solo valore di h per cui la matrice A_h non e diagonalizzabile

Retta e piano

Si considerino la retta r, passante per P = (0,0)^T e parallela ai piani x-y = 0 e x+z = 0 e il piano passante per i punti Q = (0,1,0)^T ed R = (0,0,3)^T, parallelo al vettore U = (1,3,1)^T

U_r = | i j k || 1 -1 0 | = ...| 1 0 2 |

r: { x = 1    y = -z }

eq. parametrica nel punto P

{ x - y = 1  y + z = 0 }

eq. cartesiana

α = | x   y - 1   z || 0   -1   1 || 1   1   1 | = 0

Vr = (-2, -1, 2)

hd = (-2, 1, 3)

non sono ||

<Vr, hd> = 2 - 2 + 2 ≠ 0

r ed d sono incidenti, non ortogonali

Verifichiamo poi quelle punti nelle risposte di punto di intersezione

{ x - y = 1  y - z = 0 }

-1/2 - 3/2 = 1

-3/2 + 3/2 = 0

-2x + y + z - 1 = 0

quindi r ∩ α = (-1/2, -3/2, 3/2)

Sistemi lineari

Al variare del parametro k ∈ R, si consideri il sistema lineare nelle incognite x,y,z:

{ x + 2y - z = -2  2x + y + z = 4k  4x + 5y - z = k² }

...

k² - 4k + 4 = (k - 2)²

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