Appello Algebra e geometria lineare

2° appello A.A. 20/21

Calcolo vettoriale

Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ di vettore del parametro K ∈ R, si considerino i seguenti vettori:

• u_K = (K, 0, K)
• v_K = (-K, K, K+1)
• w = (0, 1, 2)

R.: Considerare che i 3 vettori in uno spazio vettoriale di dimensione 3 sono Dim L.I → sono generatori → formano una base.

<u_K ∧ v_K ∧ w> = det| K 0 K | = K[2K - (K+1)] + K(-K) =

|-K K K+1| K(K-1) - K² =

| 0 1 2 |K . -K . K . (-K) . K -K ≠ 0

→ i• u_K, v_K sono l.i ↔ ∑u_K ∧ v_K ≠ 0

∑u_K ∧ v_K = < K, 0, K+1 > -K² + K² + K = K

se K > 0 i, 2(il resto è c.d.s).

↗ Esiste un unico (vettore di) R (per) dei 2K le L.I ↔ ESPAZIETTORIANI

Dimensione di uno spazio vettoriale

Nello spazio vettoriale R[x] si consideri sottospazio:

W = span {2 + x + x², 1-x, 4 + x (3x²)}

W è lo span dei 3 polinomi che possibilmente non sono l.i. Quindi, si ha che 2 ≤ dim W ≤ 3.

• Si ha dim W = 2 se i 3 polinomi sono Lin Dip
• Dim W = 3 i 3 polinomi sono Lin Ind.

3 polinomi sono l.i se a(2 + x + x²) + b(1-x) + c(4 + x - 3x²) = 0 implica a + b + c = 0

(2a + b + 4c) + (a + b - 4)X + (a - 3c)X² = 0

Calcolo vettoriale

Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ di vettore del parametro K ∈ R, si considerano i seguenti vettori:

• u_K = (K, 0, K)
• v_K = (-K, K, K+1)
• w = (0, 1, 2)

R.: Condizione affinché 3 vettori in uno spazio letterale di dimensioni 3 sono L.I. ⟺ sono generatori ⟺ formano una base.

<u_K ∧ v_K ∧ w> = det ^|K 0 K _| = K[2K -(K+1)] + K (-K) =

⎛⎝-K K K+1⎞⎠ K (K-1) - K² = K·(K-1) - K² ≠ 0 ⟹ i

3 vettori formano una base ⟹ 3 vettori sono generatori ⟹ sono L.I.

• u_K, v_K è L.I. ⟺ Σu_K ∧ v_K = 0

Σu_K ∧ v_K = <K, 0, K>x(-K, K, K+1) = -K² + K² + K = K

se K = 0, |2|, altro..., quindi, ⊗

Esiste un unico (vettore) di KE (per) dei u_K le note scelte in SPAZI VETTORIALI Dimostrarne uno del spazio vettoriale.

Spazio letterale RQ[x]

Si consideri consuntivo:

W = (span{2, 1+x, x² × 1, x, 4+x, x³, 2})

W è il span di 3 polinomi che possibilmente non sono L.I. Quindi si ha che 2 ≤ dim W ≤ 3.

S. la dim W = 2 se i 3 polinomi sono L.D. " dim W = 3 se i 3 polinomi sono L.I.

3 polinomi sono L.I. ⟷ a(2+1+x²) + b(1+x) + c(4+x + x²) = 0 implica a + b + c = 0

(2a + b + 4c) + (a + b) x + (a + 3c) x² = 0

Scansionato con CamScanner implica 2a+1b+c ∈ ℝ se si trova nella sfera due nulla ⟹(a+b+c) ‖ 0

det⎛⎝ 2 1 4 ⎞⎠(x+3c ∈ ℝ)1

det = 2 (3 −1) ⎛⎝1 3−1⎞⎠= 0 ⟹ i ... problemi sono ℝℝ

Geometria analitica

1) Posizione reciproca di rette

Si considerano le rette r e s di equazioni cartesiane:

• r: { x + 2y + 3z = 3x − 2y + z ≤ 0 }
• s: { 3x − 4y + 4z + 13x − 4y + 4z + 1 }
• x − 2y − 2z = −1

⎛⎝0 5 5 0⎞⎠⎛⎝ 0 −5 5 −2⎞⎠

rank A = 2

rank (A|B) = 3

Si ottiene non più scelta di D e mette ... su .../imm. concludere

Sistema lineare

3) Sistemi, Nucleo e Immagini

Sia A = ⎛⎝ 1 1 1 −3⎞⎠ e sia B = ⎛⎝ 1 1 30 ⎛⎝0 −7⎞⎠

applicazione lineare la ⟹ a (ℝ³ → ℝ³₃ definita ... AX = B ha soluzione?

⎛⎝1 −3 3 3⎞⎠⎛⎝0 −7⎞⎠ rank A: rank N.B: 2 quindi B ∈ Im A ⟹ dim ker A 3-2=1

Teoremi di nullità, rango e di Grassman

Sia β: ℝ₉ → ℝ₆ un'applicazione lineare iniettiva. Sia Z ⊂ ℝ₉ un sottospazio vettoriale di ℝ₉ tale che β restricted to Z ≠ 0. Im β ≠ ℝ₆

Ker(β) = 0 dim Ker(β) + dim Im β = dim V

dim Ker(β) = 0 dim Im β = 6

Z ⊕ Im β = ℝ⁹ implica che dim Z + dim Im β = 9 dim Z = 9 - dim Im β => dim Z = 3

Matrici

Rango di matrici: un parametro

Al variare del parametro k si considera la matrice:

A(k) = ( 2 3 k 0 ) = ( 2 1 k 0 )

( k² 2 k 2 ) = P₂ - k*P₁ ( 4 0 k 3k )

( 2 8 0 -2k P₁ ) ( 0 k -k 2k) (g - k) = 0 (2 - k)(2 + k) = 0 k - 2 k ≠ -2 -k ≠ 0 k ≠ 0

Se k ≠ ±2, 0 rango A = 3

Se k ≠ 0 A = ( 2 3 0 0 ) rango A = 3

( 0 4 0 0 ) ( 8 0 -4 0 )

Se k = 2 A = ( 2 4 -2 0 ) rango A = 2

( 0 0 0 0 ) ( 0 0 -4 0 )

( 0 2 -2 0 )

Se k = 0 A = ( 2 ±2 0 0 ) rango A = 3

( 0 1 0 4 ) ( 0 0 0 4 )

( 0 ±2 -2 -2 )

( 2 1 -2 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 )

Esiste un solo valore di k per cui il raggio vale 2

Diagonalizzazione

Traccia e determinante

Sia A = ^| 2  1   0 _|

^| 1  2   0 _|

^| 0  1   2 _|

Si considera B = A^tAA^tA = (^| 2  1  0 _|) (^| 2  1  0 _|) = ^| 1  2  1 _|   ^| 1  2  1 _| ^| 0  1  2 _|   ^| 0  1  2 _|^| 4  2  0 _|^| 2  2  2 _|^| 0  2  4 _|

B è simmetrica quindi ammette una base ortonormale di autovettori. Per il teorema spettrale. det B = 32 = prodotto autovalori. => B non è invertibile

tr(B) = 10 > 0 det B = (detB)² = 0 Teorema spettrale.

Diagonalizzazione con Papanello

Si considera simmetrica A_n =(^| 5  0  9 _|) 1  h  3 2  0  -l

Polinomio caratteristico P_A(h) = det(A-λI) = det(^|  5-λ   . . .   . . . _|)  . . .   . . .   . . .   8 (2^l-h+3)2h:20h - 5l[...expansion...]-^l³ + (5 + h²) = -5l + 8l-20l + 3(8h - l) det = (λ-2)²(λ+5)= (λ-2)² (2+1)∀λ_i ∈ {1, 2}, l_i ha 3 autoval di simm ed è diagonalizz.

∀λ = 5λ₂ = 2 m.o. det(A₂) = 1 rank A = 2 max{geo, dimL} = 3-2 = 1 ∀λ = 2 rank A = 13-2 = 2 = max{geo, matdeg} Per λ = 2 le matrice è diagonalizzib. Esiste un solo vctone di TI per cui la matrice AR_A non è diagonalizzabi.

25.

Si considerino un retto r_ε passante per P = (1,0,0)^T e parallelo ai piani x-y-0 e ai piani x-z=0 e il piano passante per il punto Q = (0,y₀,0)^T ed R = (0,0,z₀)^T parallelo con la direzione (1,- 1,1)^TV_r= λ |1|0|1|0 = |1|0x = ₁e parametrica del punto P{ x-y-1 y+z₀ x-y-z =0 x -y-1 α: | | x y-ξ₀ α:|0 |« |-2x+(y–1)+z=0 -2x+y+z-1=0|-2|1h α = |-2|1 non sono ||║Vn,Hn║ > 2 medi n/a non ortogolari -2x + y+ z = 0{- 3/2 (x-y=1) [ −3/2,3/2 quindi middle α= [3,-3/2 ,3/2]^3/2

28.

Se variare x del parametro k E R, si consideri il sistema nelle immagine x, y, z |3|1|-2|-2 nella R₂-R₁ L_k, L_k'{-2 3 3 L_k=(4k+ 4,0(3k+2) k+ )⊃2