Formulario risoluzione esercizi appello

Formulario soluzione esercizi

Intersezione e somma di sottospazi

W₁ ∩ W₂ = ⟨ somma di tutte le basi, poi elimina vettori complanari ⟩
W₁ ∩ W₂ = {v ∈ W₁ e v ∈ W₂}
W₁ ⊕ W₂ se W₁ ∩ W₂ = {0R^p} insieme minimale di equazioni = TH GAUSS
rk(A) = rk(Aw) sottospazio complementare è sottospazio vettoriale tale che T + S = W e T ∩ S = {0}

Teoremi e proprietà delle matrici

By Atiassos e Grassmann e TH GAUSS trovare equazioni e determinare spazio complementare
dim W - dk W
det A | N×3 | trasforma A in matrice diagonale
A invertibile = rk A = w => det A ≠ 0 => A può essere ridotta a Im
detA^-1 = 1/detA
A ortogonale se A^-1 = A^T => le colonne formano una base ortonormale di Rⁿ (hanno lo stesso det e In e polinomio caratteristico)

Matrice associata e coordinate

Matrice associata B, C -> AB(B) -> f(v-dB)=(i) esprime la relazione con le coordinate di C.
Ker f = {f(f)=0}
Im f = ⟨ f(f)... ⟩, complemento a base W ∈ Im f TH GAUSS
Formulario soluzioni es. 10.67.1514: W₁ ∩ W₂ = ⟨ somma di tutte le basi, poi eliminare vett. lin dipendenti ⟩
W₁ ∪ W₂ = {v ∈ W₁ v ∈ W₂} | W₀ ≠ W₂ se W₁ ∩ W₂ = {0R^k} insieme minimale di eq. => TH GAUSS
rg(A) = n₀c (λ₂_w)

Proprietà delle matrici e autovalori

Sottospazio complementare è sottospazio vettoriale tale che T + S = W e T ∩ S = {∅}
Ly Atroonso f. Grassmann e TH GAUSS λ trovare equazioni e determinare spazio complementare => dim W - ek W
Det A \ N \ (31 trasformare A in matrice diagonale
A invertibile: ⟶ n₀k A = b₀ ⟶ det. A ≠ O ⟶ A può essere ridotta a l₀R_n}
det A^-1 = 1 / det A
A ortogonale se A^-1 = A^T => le colonne formano base ortonormale di Rⁿ (A · A^T = l_n)
Due matrici sono simili: ⟶ hanno lo stesso det e I_n e polinomio caratteristico
Matrice associata C: B · C => A_B(fn) => g (V · d^C) = {i | esprime the relas con le coordinate di C. Matrice, colonne, coordinate}

Ker e immagine di una funzione

Ker f: = {f (x) = 0}
Im f = ⟨ f (p₁) ... ⟩, complementato a base W, e Im f => TH GAUSS

Diagonalizzazione

Se la matrice è diagonale, gli autovalori sono scritti sulla diagonale
1 ≤ m.g.(λ) ≤ m.a.(λ) ≤ n
A diagonalizzabile ↔ ∑_λm.a.(λ) = n
m.a.(λ) = m.g.(λ) ∀ autovalore λ
Per trovare forma diagonale scrivere diagrama: Δ = H^-1AH, scegliamo una matrice quadrata di grado 1, poi scrivere H, calcolare base di autovettori, determinare posizione autovettori associati a ciascun autovalore = scelta nella matrice diagonale = scrivenza tutti autovalori nella base e scrivere la matrice inversa
Autospazio e l’autovettore V_λ = {tale che (A - λI_n)(X̄) = (0...)}

Determinazione di autovalori

Autovalori si determinano con p_A(x) = (A - λI_n) e si scelgono i numeri per annullare il polinomio
Endomorfismo f: diagonalizzabile ↔ ℝ^k e somma degli autospazi relativi a f_i
Se un ha la matrice associata scriverà la matrice rispetto alle base carlmics.
Vell. ι e autovettore di f: ⇒ ly tale che ?{(λ+λ²) = λ(λ-λ^x̄)}