Analisi matematica II - Esercizio 8

Esercizi proposti nell’ambito del corso di Analisi matematica II

Prof. Lignola - Anno Accademico 2009-2010

n. 81

1. Si calcoli l’integrale triplo di:

• ≤ ≤ ≤ ≤ −2 ≤ ≤y- f (x, y, z) = z e esteso al cubo T determinata da 0 x 3, 1 y 2 e z 4;
• ≤ ≤ ≤2 2 2 2- f (x, y, z) = x(z + y ) esteso alla porzione di cilindro T determinata da: z + y 4 e 0 x 2;
• ≤ −2 ≤ ≤2 2 2 2 2- f (x, y, z) = x + y + z esteso alla porzione di cilindro T determinata da x + z 2 e y 1;
• − ≤ −2 ≤ ≤2 2- f (x, y, z) = x y esteso alla porzione di cilindro T determinata da x + y 3 e z 4 + x;
• √−1 ≤ ≤ − 2 2- f (x, y, z) = zy esteso alla porzione di cono T determinata da z 2 x + y ;
• 2 2- f (x, y, z) = z + y esteso alla porzione di sfera S di centro l’origine e raggio 1 contenuta nel semispa-≤zio x 0;
• ′2 2- f (x, y, z) = y + x esteso alla porzione di sfera S di centro l’origine e raggio 3 contenuta nell’ottante≥ ≥ ≤x 0, z 0 e y 0;
• 2 2- f (x, y, z) = xy esteso al solido che ha per frontiera la di porzione di paraboloide D di equazione z = x +y ,≤ ≤0 z 4, e il cerchio del piano z = 4 di centro (0, 0, 4) e raggio 2;
• ′- f (x, y, z) = x + y + z esteso al solido che ha per frontiera la di porzione di paraboloide D di equazione− ≤ ≤2 2y = z + x 1, 0 y 3, e il cerchio del piano y = 3 di centro (0, 3, 0) e raggio 2.

2. Si calcolino le coordinate del baricentro di ognuno dei domini dell’esercizio 1.

3. Si calcoli il volume di:

• Toro generato dalla rotazione del cerchio del piano xy di centro (3, 2) e raggio 1 intorno all’asse x;
• − 2 2- porzione di spazio compresa tra il paraboloide d’equazione z = 1 (x + y ) e quello d’equazione−2 2z = x + y 3;
• ≥2 2 2- porzione di spazio compresa tra la porzione di sfera d’equazione x + y + z = 2, con z 0, e il−2 2paraboloide d’equazione z = x + y 2;
• 2 2 2- porzione di spazio compresa tra la porzione di superficie sferica d’equazione x + y + z = 4 e i piani−1.d’equazione z = 1 e z = 1