Concetti Chiave
- La viscosità è una grandezza fisica che misura l'attrito interno di un fluido, variando inversamente con la temperatura nei liquidi e direttamente nei gas.
- Il numero di Reynolds determina il tipo di moto di un fluido: un valore inferiore a 2300 indica moto laminare, mentre un valore superiore indica moto turbolento.
- La Legge di Poiseuille descrive la portata in un condotto laminare, evidenziando la dipendenza dalla quarta potenza del raggio del condotto.
- Nel moto turbolento, la portata è inferiore rispetto al moto laminare a parità di differenza di pressione, a causa della dissipazione di energia generata dai vortici.
- Le perdite di carico in regime turbolento sono influenzate dal numero di Reynolds, che si esprime attraverso una formula specifica per valutare le condizioni del fluido in movimento.
In questo appunto di Fisica si descrive la viscosità, le sue caratteristiche e si illustra come questa grandezza può influire sul moto di un fluido.
Definizione di viscosità
La viscosità è quella grandezza fisica derivata che misura l’attrito all’interno di un fluido, un gas o un liquido, per cui uno strato in movimento tende a trascinare con se quelli adiacenti a causa dell’attrito che si esercita fra le molecole della sostanza in esame. Nelle sostanze gassose un aumento di temperatura è causa dell’aumento della viscosità, poiché all’aumentare della temperatura aumenta il moto termico. Nei liquidi, al contrario, temperatura e viscosità sono inversamente proporzionali poiché una maggiore temperatura diminuisce la coesione della molecole del liquido, favorendo lo scorrimento degli strati in movimento l’uno sull’altro.Si consideri un fluido in moto e sia T la forza necessaria tale da mantenere una differenza di velocità
\Delta v
[/math]
\Delta x.
[/math]
\frac{\Delta v}{\Delta x}
[/math]
ed alla superficie di contatto A.
Deve valere la seguente espressione:
T = \eta A \big(\frac{\Delta v}{\Delta x}\big)
[/math]
dove la quantità
\frac{\Delta v}{\Delta x}
[/math]
La precedente espressione esprime la Legge di Viscosità.
Le dimensioni della viscosità sono:
[m] [L]^{-1} [t]^{-1}
[/math]
ossia
(massa)(lunghezza)^{-1} (tempo)^{-1}.
[/math]
\frac{N \cdot s}{m^2}
[/math]
0,1 \frac{N \cdot s}{m^2}:
[/math]
1 P = 0,1 \frac{N \cdot s}{m^2} = 0,1 P_a \cdot s.
[/math]
La grandezza
\eta
[/math]
\nu:
[/math]
\nu = \frac{\eta}{\delta}.
[/math]
Tutti i fluidi che seguono perfettamente la legge di viscosità vengono chiamati fluidi newtoniani (ne sono per esempio una buona approssimazione l’acqua, il mercurio, l’alcol ed altri), ossia quando il legame tra lo sforzo di taglio ed il gradiente di velocità è costante:
T_t = \eta \big(\frac{\Delta v}{\Delta x}\big)
[/math]
mentre per alcuni liquidi (ad esempio alcune soluzioni acquose o gelatine) si osserva un comportamento differente e per queste sostanze la viscosità può dipendere anche dal tempo.
I viscosimetri sono gli strumenti atti alla misurazione della viscosità. Tali strumenti sfruttano lo scorrimento dei fluidi in tubi capillari di diametro molto piccolo o misurando il moto di caduta di sferette di massa e diametro perfettamente noti in recipienti contenenti la sostanza in esame.
Numero di Reynolds
Il numero di Reynolds è un parametro indicativo sulle condizioni di moto di un fluido all’interno di un tubo. Tale parametro è strettamente legato alla viscosità del liquido stesso.In base al valore di tale parametro si può stabilire se il moto del fluido studiato è un moto laminare oppure si tratta di un moto turbolento.
Reynolds realizzò una semplice esperienza di laboratorio la quale consisteva in un contenitore cilindrico in cui è praticata un’apertura circolare ed a questa è collegata un tubo della lunghezza di un paio di metri. Quest’ultimo collegamento è realizzato in modo tale che da avere la minore contrazione della vena possibile ed in modo tale da poter trascurare ogni tipo di perturbazione possibile. All’interno del contenitore principale ne pose un altro, più piccolo, contenente lo stesso liquido, ma di un colore diverso, in modo tale che si potessero notare i doversi filetti, nel momento in cui i due liquidi si mischiassero.
Nel momento in cui fuoriescono i liquidi da entrambi i contenitori si possono verificare due situazioni.
La prima è quella in cui la velocità di entrambi i fluidi è molto bassa: in questo caso si nota che il filetto del fluido colorato è rettilineo, ossia il fluido colorato si muove di moto rettilineo uniforme, diremo che in questa situazione il fluido si muove di moto laminare.
La seconda situazione è quella in cui si hanno velocità maggiori (quindi portate maggiori): in questo caso il fluido colorato presenta delle anormalità ed il suo moto non è più rettilineo uniforme, diremo che in questa situazione il fluido si muove di moto turbolento.
I parametri che influenzano i due tipi di moto sopra descritti, e quindi anche il numero di Reynolds, sono:
- la densità del fluido, [math]
\delta;
[/math] - la viscosità del fluido, [math]
\eta;
[/math] - la velocità con cui si muove il fluido, v;
- il diametro del tubo di uscita, [math]
\varphi.
[/math]
R_e = \frac{\delta \varphi v}{\eta}
[/math]
ed in funzione della viscosità cinematica si ha che:
R_e = \frac{\varphi v}{\eta}.
[/math]
Il numero di Reynolds è un numero puro e si ha che:
- se [math]il fluido è in condizioni di moto laminare;
R_e \le R_{ecr}
[/math] - se [math]il fluido è in condizioni di moto turbolento.
R_e \ge R_{ecr}
[/math]
R_{ecr}
[/math]
R_{ecr} \approx 2300.
[/math]
Il passaggio da moto laminare a moto turbolento, per valori di
R_e
[/math]
Moto in condotte in regime laminare
Si consideri un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R ed un fluido che scorre al suo interno muovendosi di moto laminare.Considerando un generico cilindro di fluido coassiale con quello di partenza e sapendo che:
Q_L = \int_{0}^{R} dQ,
[/math]
si può dimostrare che la portata
Q_L
[/math]
Q_L = \frac{(\pi) (\Delta p) (R^4)}{8 (\eta) (L)}
[/math]
La quale esprime la Legge di Poiseuille ed in cui:
\Delta p
[/math]
R è il raggio della tubazione;
L è la lunghezza del tratto di tubazione considerata;
\eta
[/math]
Si nota subito che
Q_L
[/math]
\frac{\Delta p}{L}
[/math]
mentre risulta essere inversamente proporzionale alla viscosità
\eta.
[/math]
Il fatto che
Q_L
[/math]
Moto in condotte in regime turbolento
Consideriamo ancora un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R. Supponiamo che il fluido che scorre al suo interno abbia una velocità tale da creare un regime di moto turbolento. In tale condizione la portata, a parità di differenza di pressione fra gli estremi del condotto, è più bassa di quella calcolabile con la legge di Poiseuille. Questo risultato è dovuto al fatto che in regime di moto turbolento si formano dei vortici all’interno del liquido che dopo la loro formazione si muovono compatti all’interno del fluido creando dissipazione di energia: l’energia fornita dalle forze di pressione, ossia quelle che fanno muovere il fluido, si divide tra energia cinetica traslazionale del fluido ed energia cinetica rotazionale. Questa energia, nel momento in cui i vortici si distruggono si trasforma in energia disordinata nel fluido. Tale fenomeno implica che a parità di lavoro delle forze di pressione la pressione in regime di moto turbolento è più bassa di quella che si ha in regime di moto laminare.La perdita di carico lineare dovuta a questa condizione si può esprimere come:
\frac{\Delta p}{L} = f(R_e) \cdot \frac{\delta v^2}{2 \varphi}
[/math]
dove
\Delta p
[/math]
L è la lunghezza del condotto;
\varphi
[/math]
\delta
[/math]
f(R_e)
[/math]
f(R_e) = \frac{0,32}{(R_e)^{0,25}}
[/math]
quindi avremmo che
\frac{\Delta p}{L} = (\frac{0,32}{(R_e)^{0,25}}) \cdot \frac{\delta v^2}{2 \varphi}
[/math]
ossia
\frac{\Delta p}{L} = ( 0,16) \big(\frac{\eta d^3 v^7}{(varphi)^5}\big)^{0,25}.
[/math]
Sapendo che
Q = A v
[/math]
ossia
Q = \pi R^2 v
[/math]
si ottiene
Q_T = \pi R^{\frac{19}{7}} \big(\frac{32 B}{\eta (\delta)^3}\big)^{\frac{1}{7}}
[/math]
dove
B = \big(\frac{\delta g (h + L)}{0,16 L}\big)^4
[/math]
ed h rappresenta un eventuale quota di dislivello del ramo di condotto.
La precedente espressione della portata
Q_T
[/math]
per ulteriori approfondimenti sulla viscosità vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Cos'è la viscosità e come influisce sul moto di un fluido?
- Qual è la legge di viscosità e come si esprime matematicamente?
- Che cos'è il numero di Reynolds e quale importanza ha nel moto dei fluidi?
- Come si differenziano i regimi di moto laminare e turbolento in un condotto?
- Qual è la relazione tra la viscosità e la portata in un condotto?
La viscosità è una grandezza fisica che misura l'attrito interno di un fluido, influenzando il moto degli strati in movimento. Essa varia con la temperatura: nei gas aumenta con l'aumento della temperatura, mentre nei liquidi diminuisce, favorendo lo scorrimento (definito nel testo).
La legge di viscosità stabilisce che la forza necessaria per mantenere una differenza di velocità tra due strati di fluido è proporzionale al gradiente di velocità e alla superficie di contatto. Si esprime come \( T = \eta A \left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right) \) (citato nel testo).
Il numero di Reynolds è un parametro che indica le condizioni di moto di un fluido in un tubo, determinando se il moto è laminare o turbolento. Si calcola come \( R_e = \frac{\delta \varphi v}{\eta} \) e il suo valore critico è circa 2300 (come descritto nel testo).
Nel moto laminare, il fluido scorre in modo ordinato e rettilineo, mentre nel moto turbolento si formano vortici e il flusso diventa disordinato. La portata in regime turbolento è inferiore rispetto a quella calcolata con la legge di Poiseuille (spiegato nel testo).
La portata in un condotto è direttamente proporzionale alla differenza di pressione e alla quarta potenza del raggio del condotto, mentre è inversamente proporzionale alla viscosità. In regime turbolento, la portata è influenzata da vortici che riducono l'efficienza del flusso (come indicato nel testo).
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