Valori assoluti nelle equazioni e disequazioni

Valore assoluto = modulo

Definizione

|x| = x se x > 0

|x| = -x se x è sempre ≥ 0

Es. |8| = 8 | -8 | = 8

Equaz. immediate

• |x| = 2     x = ±2
• |x| = 0     x = 0
• |x| = -3     impossibile

Disequaz. immediate

• |x| > 2     x 2     (*)
• |x|
• |x| ≥ 0     sempre
• |x| > 0     x ≠ 0
• |x| > -2     sempre
• |x|
• |x| ≤ +2     -2 ≤ x ≤ 2

N.B. (*) |x - 2| > 1

x - 2 1

x 3

(**) |x - 2| -1 -1 + 2 1

Valore assoluto = modulo

Definizione

|x| = x se x > 0 -x se x è sempre ≥ 0

Es. |8| = 8 |−8| = 8

Equaz. immediate

• |x| = 2   x = ±2
• |x| = 0   x = 0
• |x| = -3   impossibile

Disequaz. immediate

• |x| > 2   x < -2 ∨ x > 2   (*)
• |x| < 2   -2 < x < 2   (**)
• |x| ≥ 0  (sempre)
• |x| > 0   x ≠ 0
• |x| > -2  (sempre)
• |x| < -2  (mai)
• |x| ≤ +2   -2 ≤ x ≤ 2

N.B. (*) |x−2| > 1  x−2 < −1 ∨ x−2 > 1  x < 1 ∨ x > 3

(**) |x−2| < 1  -1 < x−2 < 1  -1 < x < 3

Metodo generale

Equaz. con 1 valore assoluto

|x - 4| = 2x + 5

Poiché |x - 4| = x - 4 se x - 4 > 0 → x > 4

-x + 4 se x - 4 < 0 → x < 4

{x > 4

x - 4 = 2x + 5}

{x > 4

x - 2x = 4 + 5}

{x > 4

-x = 9}

{x > 4

x = -9 NON ACC}

{x < 4

-x + 4 = 2x + 5}

{x < 4

-x - 2x = 5 - 4}

{x < 4

-3x = 1}

{x < 4

x = - ¹/₃ ACCETT}

SOLUZ. x = - ¹/₃

|x-4| > 2x+5

Poiché |x-4| = x-4 se x-4 ≥ 0 → x ≥ 4

-x+4 se x-4

x ≥ 4

x-4 ≥ 2x+5

x ≥ 4

x - 2x ≥ 4 + 5

-x ≥ 9

x ≤ -9

Nessuna soluz.

x -x + 4 > 2x + 5

x -x - 2x > 5 - 4

x -3x > 1

x x X Soluz. x