Algebra: valori assoluti in equazioni e disequazioni
Esempi svolti
Esercitazione 20
Equazioni / disequazioni con moduli
Equazione: |2x+1| - |x+3| = x2 - 4
Segno degli argomenti dei 2 moduli
A: |2x+1| >= 0 ⇒ x >= -1/2
B: x+3 >= 0 ⇒ x >= -3
1) Per x <= -3 (A - ; B -)
-2x+1 + x + 3 = x2 - 4
-2x + x - x2 + 1 + 3 + 4 = 0
-x2 - x + 6 = 0
x2 + x - 6 = 0
(x+3)(x-2) = 0
x = -3
x = +2
S1 = -3
2) -3 < x <= -1/2
A - ; B +
-2x-1 - x - 3 = x2 - 4
-3x - x2 = 0
x(x+3) = 0
x = 0
x = -3
S2 = -3
3) x >= -1/2
A + ; B +
2x+1 - x - 3 = x2 - 4
-x2 + x + 2 = 0
x2 - x - 2 = 0
Δ = 1 + 8 = 9
x = (1 ± 3)/2
x = 2
S3 = 2
S = S1 U S2 U S3 = {-3, 2}
Disequazione: |x2 - 3x| + |x - 1| > 3
A) x2 - 3x > 0
B) x - 1 > 0
{ x(x - 3) > 0
x > 1
1) Per x < 0
A?; B?
x2 - 3x - x + 1 > 3
x2 - 4x + 1 - 3 > 0
x2 - 4x - 2 > 0
Δ = 16 + 8 = 24 => x = (4 ± √24) / 2 = (4 ± 2√6) / 2
x = 2 ± √6
SI = x < 2 - √6 V x > 2 + √6
2) 0 < x < 1
A? B?
-x2 + 3x - x + 1 > 3
-x2 + 2x - 2 > 0
x2 - 2x + 2 < 0
Δ = 4 - 8 < 0
x ∈ R => D2 = ∅
I polinomi e sempre positivi
3) x > 3
A? B?
x2 - 3x + x - 1 > 3
x2 - 2x - 4 > 0
Δ = 4 + 16 = 20
x = (2 ± √20) / 2 -> (2 - 2√5) / 2 = 1 - √5
(2 + 2√5) / 2 = 1 + √5
S3 = x < 1 - √5 V x > 1 + √5
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