Valori assoluti in equazioni e disequazioni

Algebra

Valori assoluti in

Equazioni e Disequazioni

Esempi svolti

Esercitazione 20

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Esercitazione 20

Equazioni / Disequazioni con moduli

Equazioni

|2x+1| - |x+3| = x² - 4

Segno degli argomenti dei 2 moduli

• A |2x+1| > 0 ⇒ (x > -¹⁄₂)
• B |x+3| > 0 ⇒ (x > -3)

1. per x ≤ -3 (A ⊙ ; B ⊙) {

   -2x-1 -x-3 = x² - 4 ⇒

   2x +7x - x² + 3 + 4 = 0

   -x -4 -6 = 0

   -2 x + 7 = 0

   (x + 1)(x - 2) = 0

   x = +2

   S₁ = -3

2. -3 x x - 1 ⁄ 2

   A ⊙ ; B ⊙

   -2x 1 x -3 = x² -4

   -3 x x = 0

   x (x + 3) = 0

   x = 0

   (x = 3) S₁

3. x > -¹⁄₂

   A ⊙ ; B ⊙

   2x +1 - x -3 = x² - 4

   x² + x + 2 = 0 x² - x - 2 = 0

   S₂ = -3

   ∆ = 1 + 8 = 9

   x = ± 3 ⁄ 2

   S₁

   S₃ = 2

S₁ ∪ S₂ ∪ S₃ = {-3, 2}

Disequazione

|x²-3x| + |x-1| > 3

• A
• x²-3x > 0
• (x)(x-3) > 0
• B
• x-1 > 0
• x > 1

1. Sev x ≤ 0 A⊕ B⊖

   • x²-3x-x+1 > 3
   • x²-4x+1 > 3
   • x²-4x-2 > 0
   • Δ = 16+8 = 24 h ⇒ x = ^4±√24/₂ = ^4±2√6/₂
   • x₁ = 2 ±√6
2. S₁ = x ≤2 -√6 ∨ x ≥ 2+ √6

3. 0 < x ≤ 1 A⊖ B⊖

   • -x²+3x-x+1 > 3
   • -x²+2x-2 > 0
   • x²-2x+2 < 0
   • Δ = -4 ≈ 0
4. x∈ℝ ⇒ S₂ = ∅

5. x ≥ 3 Δ⊕ B⊕

   • x²-3x+x-1 < 3
   • x²-2x-4 > 0
   • Δ = 4 + 16 = 20
   • x = ^2±√20/₂ = ^2±2√5/₂ = 1 ±√5
   • S₃ = x (1+√5, √5) +√5