Trinomi speciali - Risoluzione guidata con esempi

Trinomio speciale

Nel seguente appunto analizzeremo il trinomio speciale, anche detto trinomio caratteristico o trinomio particolare di secondo grado: è un metodo di scomposizione dei polinomi, nello specifico dei trinomi, ossia i polinomi che possiedono tre termini. Esso è particolarmente comodo perché permette di scomporre tali polinomi senza necessariamente utilizzare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

Trinomio speciale (o trinomio caratteristico o trinomio particolare di secondo grado)

Un trinomio speciale è un’equazione in

o qualsiasi altra variabile nella quale è necessario sostituire il termine di grado medio, di solito quello che contiene elevata a grado 1, con la somma di due termini dello stesso grado ed effettuare due raccoglimenti parziali e un raccoglimento totale, per poter trovare il valore di .

Prendiamo come esempio l’equazione:

, il metodo si compone di alcuni passaggi ben precisi, ma semplici.

Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione dei polinomi vedi anche qua

Identificazione del termine di grado medio

Il termine di grado medio, in un trinomio, è il termine che non ha né grado massimo, che nel nostro caso di esempio è

, né grado minimo. In questo caso il termine di grado minimo è la costante, cioè , perché sarebbe come moltiplicare tale numero per . Quindi, nel nostro specifico caso, il termine di grado medio sarà .

Sostituzione del termine di grado medio

Per sostituire correttamente il termine di grado medio con la somma di due termini dello stesso grado bisogna assicurarsi che:

• La somma dei due termini scelti sia uguale al termine dell’equazione di partenza
  [math]a+b=7[/math]
  .
• Il prodotto tra i due termini scelti sia uguale al prodotto del termine di grado maggiore con il termine di grado minore:
  [math] ab= 2 \cdot 6 = 12 [/math]
  . Ovviamente quando il coefficiente di
  [math]x^2[/math]
  è uguale a
  [math] 1 [/math]
  , il prodotto dei due termini è uguale al termine noto. Ad esempio, se avessimo avuto il coefficiente di
  [math] x^2 [/math]
  pari a 1, allora avremmo avuto
  [math] ab = 6 [/math]
  .

Calcolo dei termini

Chiamiamo i due termini

e , come abbiamo già fatto nell'esempio precedente.

Allora avremo l'uguaglianza:

E inoltre:

Da queste due equazioni troviamo, con pochi tentativi, che i numeri di cui abbiamo bisogno saranno

e . Questo perché, assumendo che siano numeri interi, i divisori di sono . Quindi basta fare pochi tentativi, tenendo conto del fatto che la somma dei divisori deve dare .

Svolgimento dei raccoglimenti parziali

Una volta determinati i valori di

, la nostra equazione diventa: .

A questo punto effettuare un raccoglimento parziale tra i primi due termini e gli ultimi due, facendo attenzione che il contenuto delle due parentesi sia uguale, per definizione di raccoglimento parziale, sia in valore che in segno, in modo da permettere poi il raccoglimento totale tra i due termini.

Notiamo che è possibile raccogliere il binomio

come segue:

Nota bene: Se le due parentesi contenessero gli stessi numeri, ma con i segni invertiti, sarebbe sufficiente raccogliere un meno dalla seconda parentesi e cambiare i segni, ma non è questo il caso.

Mostriamo comunque un esempio, consideriamo l'espressione seguente:

. Sebbene i fattori raccolti nelle parentesi sembrino a prima vista molto diversi, uno è l'opposto dell'altro. L'espressione si può quindi riscrivere nel modo seguente, cambiando i segni opportuni: .

Svolgimento del raccoglimento totale

Abbiamo ora l'espressione:

.

Ora effettuare un raccoglimento totale in modo da ottenere il prodotto tra due binomi, per poter poi utilizzare la legge dell’annullamento del prodotto, LAP, e trovare la soluzione. Otteniamo quindi:

.

Determinazione delle soluzioni grazie alla legge di annullamento del prodotto

Il polinomio è così composto, ma vediamo un'ulteriore applicazione. A volte è necessario scomporre i polinomi per determinare le soluzioni delle equazioni di grado superiore al primo utilizzando la legge di annullamento del prodotto.

Supponiamo quindi che ci venga chiesto di determinare le soluzioni di

. Il polinomio è stato scomposto come: .

Per trovare le soluzioni di questa equazione è necessario trovare i valori di

per i quali si annullano prima l’una e poi l’altra parentesi, sfruttando la legge d'annullamento del prodotto.

Quindi, perché

sia uguale a 0, abbiamo due casi:

• Caso 1: Abbiamo l'equazione
  [math] (x+2) = 0 [/math]
  , che ci restituisce
  [math] x = -2 [/math]
  .
• Caso 2: Abbiamo l'equazione
  [math] (2x+3) = 0 [/math]
  , che ci restituisce
  [math] x = -\frac{2}{3} [/math]
  .

Per approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua