Appunti di Algebra lineare

Equivalenza, spazi vettoriali e basi

20102I equivalediee'equivalentesbagliato dire prendereI, indevoche emae a AG1-proprieta' orientatovettori vettore (vedicosedei applicato --·riflessivitalsimmetria. I·transitivita↳ farcile operazionipossoSomma:regola parallelogrammadel-proprietacommutativa x xy 1+ +=-proprieta' associativa () x)(w(1 yw+ ++ += importante invertire operazioniorientati)(vettore-elemento leneutro pernon -oppostolopposto (verso ve -v-prodotto solmoduloinfluisce-prodotto lse eesterno negative,vettore sulscalare cambiunox(11V V-elemento FVneutro =-h(kw) (T)(nw)= distributive-proprieta linearivettorialidescrivono spazispazi((x,y)/x,yzR)= assiomiperchesiR verificanovettorialespaziodiesempio-y)(a,b) (a(x,y) x,b += ++ xity)(tt(x,y) =(0,012 = (x (x,y) y)x,=- - = --1(X,y) (1.x;1-y) (xiy)= =h(k(x,y)) (hkx;nky)h(kxiky) nk(xiy)= == finitetipofiniti l'orologio elementiricomincialeche gliorecampi coni 21/02come vettorialevettori geometrici Fisspazio ISOLO· vettoril'origine,vissata correlo punti" aiI 2in ilfissato di valori definirecartesiano, cheanche coppiepiano correlo avannoun veHOreyBl=( XB,-CI prodottoa yAl scalare(XA, + conX =(Xc,yc)y v+"A- triangolii congruentisonoI XAxB +Xc =-nell'indeterminataInsieme polinomiRK) comecoeff vettorialedei reali spazioax. (Go fai) I classici algebralxrR[x) acx polinomididex am.+ ++ += ... x3)(3x2x3)(1 3x2q(x)P(x) 12x 2x= = ++ ++ = + +polinomioelemento nulloneutro: inversipolinomio:esiste segniopposto del con13) x37(17P(x) 77 14x2x + -+ - == complessinumeri ([x)anche con-> -matrici RCvettorialile M(mxn,spazianche sono. I e ne↓. numeroIareI au(ais) eA == e elementioperazioni dellagli matriceleeffettuareposso oppurecon-> matrici20 piùtraRR" comeinsieme funzioni vettorialeinsiemeche spaziodelle davanno x realea campoun· unR)a4,4 (E(B!)R)= (Xi)(f:(1,3(f: coppia numerirealiordinataR x di= ++ =- -g)(x): f(x)R(8 g(x)f,g:x + ++ = k(f(x))(kf)(X)f: R, keRx == (f(x))f)(x)1 =- - 13x41,2,33(1,23x32,2,3) f:(1,23x91,2,331 R=>-= +cinessin I Rncs) R)=M(2x3, Biunivocal(corrispondenzamatrice isomorisono-- perche' lo spaziodeterminano stesso(2,2)(2,3)(2,1)2 - la isomorteanche traspostamatrice sonosuaeuna vettorialispazisotto (RY)vettorialeel di e'sottoinsieme spazio non uno condmaunoun -> necessaria7in 0,0(advettoriale esempioR2 l'elementospazio neutromancaE ↳ rispettolese e chiuso alla produttosomma aleR I risultati=i appartengooperationidelle nosommaes. la all'insiemeloro volta dal quale sonoaStati elementi dell'operazionegliscelti2x2/a,b,ce,cfo)[x) (aR 2c'e'bx polinomio gradoil non die'nullonon perche=2 + += /a,b,ce)R ex e(x) {a spazio vettorialebx uno2= = ++ 24/02funzioniapplicazionilineari addittiveche esono omogeneef(x)additivitay, f(y)e f(y x)= + = +f(kX) kf(t)VEV;omogeneità: KER:V =lineare: incombinazione operazione spazioconvettori linearecombinatione eSiano ladi lineareER,sianox,d......... vettori v, e amE2, 2nX+ 2,2 ... ++DefinizioneSpan/V;;Um): combinazionitutteinsieme lineariledi↳ vettori (generatorilspazio daivettoriale div generatosotto comb.lineare=comb. chiusolineareSomma. chiusoScalare:comblineareComb.lineare.·moltiplic. -IR2VCS: = I (1,0)=(1,33 (0;1)A I == b1/a,beR) b(0;))(a,be(R) ((a,0) (0,b)/a,b+R)(ai (a(1,0)Span(1,3Span A = =+= ++ = (2)=((0,b)/0,beR =RR2es: ((i);(0);(2))A = c(i)(a,b.cfR)b(d)(a(d) 12Span A = + =+y I di lunghettaversori 1es-. . . . . . ,- : linearecombinationeB (x,y) x1 y1= = + -1 II X P(3,3) (0,1) (2,1)(1,0)31 131 22 x == += + +++(esempio precedentel=E, /2,1) combinazione 1linearee diNB:1 1eDefinizione ..m]SV, dipendentiA didicediinsieme vettorisi insiemevettori linearmenteun = scriveresialmeno combinazione altrideglipuo'quando linearecomee (i) (i)2(6) (con23 inversel3(0,j):(1,8); tutte leA = = +eDefinizionei dipendentiquando........ combinationevettori sono linearmente esisteIn una1: nulli)lineare abbia ilbanale chetutti nullosomma vettorenon n on comed.k tutti& dz,..,dr, an nullid2Xzt conann non... ++ =Definizione combinationel'unicavettori indipendentiquandolinearmente....... In sonoi abbia quella banale.lineare che il vettore nullocome esomma1 solodnIn per+dck2+... 0x x22,4 xn=+ = =... = =Definizione: linearmente indipendentiordinato spazioinsieme dicesi baseUn di dellogeneratorivettoriale.(I; 2) 2 vettorilI (=base cardinalita'una Stessadies: dinumeroe -> de(16); ()) R2 Dimensionie di rettorialebase dello spatio2una i ==(y t2B 018) (=8B(i)x(8) =-=+ -=(15); (5) s e' baseuna(15); (2)) e' baseuna()]( ();(8); e' basenon una RdidueCerchiamoes. anzibase,una ()(8) (8) i(1,2ik) iB B= =con genera=== = = R3=spanBRE linearescrive cioe'vettore B,ogni comb.si deivettoridi dicome() x(8) 3(8) z) inzksonolinearmente- eindicende seme= + ++ = R3detto dibase canonica(();(?);(=) e RSSmostriamo che AA pan= I(a a(Eai-(2) b(i) c(i) -cea(8) ->-+ +=(2) x)(8) z)(=)z)(i)=(x (y (xy x (8)= yt c(i)+ (8)+ b(i)- + - - ++ percheae'uninsieme indipendentidivettorilinearmenteA- =+ +3010 bper 0ca == =((i):(2); (8)} 2.(2)(2)dipendentilinearmente perchesono0 == R3e' dibaseunanon->((8); 18); (= base RSuna diquesta enemmeno=Osservazioni: n)3K,X....l'insieme vettoriA nullo, linearmentei sonose ilcontiene semprevettore· =dipendenti, base contenere ilquindi nessuna nullo.vettorepur-Un 0=+OXn-1inFaHi, combinationeho1 banale1.2OtOkt... lineare non cheuna=+ definizionelnullo/siopponeha il allasommacome vettore linearmente proporzionali,vettoriDue se solosononulli dipendenti seex e. non y7cioe' /1= inFaHi:KER AX, qualcheSiano cioe' BF0;dipendenti, 27002y+Bil 0 per= xf0),(possoabbiamo y=-B*Sia quindi perchedar xy=-BKx4+BI=2FO, 0proporzionali;dunque sonoyev dipendenti perche' coefficientecioe'14-A=& sono ilalloraseviceversa, y=AK yec1F0.4di e dipendenti,se aggiungendo all'insiemelinearmente allora vettore· sonoUm,V2,X, undipendenti,abbiamo invettori FaHi:ancora Xn....IX, fe, XnXnx.....dipendenti,linearmente alloravettori XX,-se sonoi anchelinearmente nullodipendenti aggiunge ilsono se vettoreI fx, Xn}linearmentesono dipendenti,vettori allora X,s,-se i linearmentesono dipendenti 27/02sono quandodipendentilinearmente pianovettori generano2 un 20230227indipendenti dipendentiDefinizione:L'insieme .... spazio vettorialedello vel baseIndi perordinato quando.vettori unan)ve cioe' VSpan=(X,,...,generato Un,da u.... =- In indipendenti-...... linearmentesonoBase coordinateTeorema e- diC....... sevettori ogni velsee'una soloSiano di Unl vettoreBv, base......, n e= lineare cioe'comb. esistesi K....,scrive diunicomodo n,in sola n-uplaecome unaunareali cheordinata Xn.xdinumeri tali nde....d, +=Definizione: dai(K, datesonovevSe Un) base diunallora vettorelediv,e' coordinateB vz, una= ...dell'unicacoeff, Inche VtxzVz...combinazione X=lineare tale anx, +6 =(1i])(X,y)RRP x1la base canonicaines: y1con += Xcoordinate rispetto Bbasedi[v)B ( .,xn)d, x2= B, . .(x,[v]BYB()= n) applicazioneosserviamo fissata v,Bdibase eche x....,una =YB:R, v R4lineare da a -BaseDimostrazione coordinatee- EV unicomostriamo(V.. ogni scriveUn) modosi inchev,baseB di vettoreSia = ... dilordinatidei B.combinazione lineare vettoricomesupponiamo ve BnYdn=duesi inscriva modiche x+...v x, t... eB,+= +Scritture coincidono, quindiche le duemostriamo Bz Xn=Bnd2di B1, == ...;Se membro membrosottraggo ottengo:a(Bikt(4,k xnkn) BnXn) (dn-Bn)(X-- Bi) Xn&x XitX 0+...= + ++ = =+-- ... ....lindipendenti,poiche....... BmIn 0sono Bcabbiamo dmac-Bi = === - -...cioe 2m BM.B,,x ac B2= = =, ...ogninel si unico chemodo mostriamoscrive in nn,Icome dex...x += +IX,l'insieme e' dibase V.B n)...., una= cioe'ognivel scrive spand...abbiamoPoiche nysi Isopra, vax...., ncome =vgenerano linearmenteNotiamo indipendenti:Un sonoche ...... &fV; poiche' si abbiamoilconsideriamo invettore a,1,....1scrive cheunico, nemodoun =K,cioe socioe' necessariamente,+Oh X,-ONOUst... no0<n= InX,=12=...- ....indipendenti Blinearmente una base.eec/a,b,ceR),axR22[x) (ax eRes:V bx bx c 0vx= =+ + ++= alo;(x) 1)span/x: identitalR principiosolo sese b=o, polin.perc= e 0x: =(x)RzB di1)(x 2, e= basex, una c)fax (a,b,c)YB(ax quindidimbx chebx coordinate sono bc 3=+ ++ += -33&B:RR=2[x] => a,b,c,de((id)2,R) R)M(2es: =x7,9) (88) (88) a(687(38) c(987(88) b(88) a78:)++ + =: - ++span((88), to*), 708), Toe)}ordine 2M(2x2,R) aigeneratorisono= ↑(a) la linearegenerica combinazione generatoridei vettorie189):780) db lin.i indipendentivettoricioe' sono0 generatoriper ca = = ==Ezz) 1)B (Ex, e'= M(2x2,base diEzz, Ez, una(2x2,R)Mdim 4=(799]) (a,b, c,d)fi = V?spazio vettorialeesiste base persempre unounaDefinizione: finitamente vettorivelgenerato finitosi didice generatospazio dase numerouno unbasedellaEsistenzaTeorema -spazio finitamentevettoriale basegenerato ammetteogni unaDimostrazione. Esistenza della base2kkk/2,(dek -R]4kSpan(X,,vSia X,.., +== +...Dimostrazione. Esistenza della base2kkk/2,(dek -R]4kSpan(X,,Sia v X,.., +== +... xx)(V....,Blin. Indip allorasexs,.... Formano baseunasonoIn =⑧ scrivedialloralindipend. questi combinazionexsel,..., altrilin.sisono comeuno degli· Spand,., XXL V.,sia XII, VabbiamoV...+GAUk chex, span= = =4 2x}(xk 2k 1kk..= + ++ 1-- un+A-1XI-al}=(xXz dk(A...+Gk-zXk-S + 1)21)k+=((xierando si ottiene (2k 1)kkda xkxk...+ + 1 + -- -}=Span(Y,risultato V....Xk-ilTeorema-Dimensione la cardinalitàstessahannodiuno vettorialebasile spazioTutteDefinizione dicardinalita' detta dimensionee'finitamente generato,se dila base vv una e/com#=#B cardinalitaldim v=leuwar- spazio vettoriale siano:v eSia uno divK, generatoriX...., A· Indip. divlinearm.Vettori,W, n· ...,risulta nIK. (/se generatoel esistono indipendentilinearm.vettori, vettoriUK+da innon 1v DimensioneDimostrazione -Xx,Xz,..,XneA (we,w....,w) cheBSia mostriamodiv. xBasi2 n= == generatoriconsideriamo indipendenti,... il lemma ken;In perAme...escambio lemma,gli insiemi nksempre ilperottengo,e k.condizionil'unica nlesoddisfauguaglianta entrambeche e =lemma deduciamoDal che:vettori dipendentidimv=h,Se allora linearmente* n+1 sono Wn)l'insieme V.fUlin.indip. e'se Ballora,dimv= dibase(W,...,n WnW,wz... una* e =complanarilparalleli(non necompletamento basedellaTeorema - (finital dim=n;e'uno dispazio dimensionevettorialesev ken), allora vettoritalilinear. esistono(conindip.X..... sonoe chee n-k(VB ..,Wm) basee'...,Xk,wk+ una= c 1, .nekn -Dimostrazione Completamento basedelle- XA3=V/soHospazioconsidero span/X,,...., (VI,...Xk)(k=n)baselaabbiamosespan),..., X6 V=· - · Wespan(X_,...,wev, Xk]Span(e,..,k3qV-esistese maw ~· indipendquindi X...,XI, linearsonoII, wspande..., dimeconsiderandoripeto diil x,w),processo finitezzaiterando, laconarriviamo di V.completare baseaa una (V VI1vettorialisu sottospaziOperationi spazi soHtosp. VettVel. die spaz. wU,spazio:Unw=soHospazioto: undiintersezione sottospati sotto di ve ↓eunv chiusixche' Y, W)chiusoX Unw(,u1V2: new I+Eunv· ew)chiusinew Xfunw(Xf4nxEE:chiuso che (generalmente)sotto e'Fatto: unione spazidi non spazioun sottounione Ur->witwa........ e'operazione chiusaa non1+~ 7①"più sottoil piccolo"Qual vuw?spazio div contienecheè (somma spazil da unioneDefinizione sonodi 2 IsoHospazi di V.Siano wane l'insieme didelle sommeSi deidefinisce vettoriutw newcome3y u,w=w)