Algebra lineare e geometria - Appunti

Appunti di algebra lineare e geometria

Poma Divo

Indice

• Nozioni di algebra: gruppi e campi 2
• Numeri complessi 3
• Matrici, determinanti e sistemi lineari 5
• Spazi vettoriali 12
• Applicazioni lineari 18
• Geometria analitica 22
• Endomorfismi: cambiamenti di base 30
• Autovalori e autovettori 31
• Prodotti scalari e spazi euclidei 35
• Proiezioni e triangolarizzabilità 43

Capitolo 1

Nozioni di algebra: gruppi e campi

Si introducono due sole nozioni di algebra che saranno utili per la definizione delle matrici e degli spazi vettoriali.

Definizione 1.1. Si definisce gruppo una struttura algebrica formata da un insieme con un’operazione binaria (come la somma o il prodotto) che soddisfa alcuni assiomi, cioè l’associatività, l’esistenza dell’elemento neutro e dell’inverso. Se soddisfa anche la commutatività il gruppo è detto commutativo o abeliano.

\ {0}, ·), \ {0}, ·), esempi di gruppi commutativi: (Z, +), (Q, +), (Q (R, +), (R (C, +), \ {0}, ·)(C

Definizione 1.2. Si definisce campo una struttura algebrica formata da un insieme con due operazioni binarie (solitamente somma e prodotto) rispetto a ciascuna delle quali è un gruppo commutativo (al più privato dello 0 per l’operazione di prodotto) e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

·), ·), ·) esempi di campi: (Q, +, (R, +, (C, +,

Capitolo 2

Numeri complessi

Il campo dei numeri complessi costituisce la chiusura algebrica del campo dei numeri C 2 −1, reali. Definita l’unità immaginaria i tale che i = il campo dei numeri complessi R. ∈ è costituito dai numeri della forma a + ib con a, b C R.

⇐⇒ <(z) =(z)z = a + ib = a e = b 0 0 0

Dati i numeri complessi z = a + ib e z = a + ib si definiscono le operazioni di: 0 0 0

• Somma z + z = (a + a ) + i(b + b ) con le proprietà: 0 0 0
• Commutativa
• Associativa
• Elemento neutro
• Opposto
• −Prodotto zz = (aa bb ) + i(ab + a b) con le proprietà: 0 0 0 0 0
• Commutativa
• Associativa
• Elemento neutro −1 a b ∀ ∈ \ {0}∃ −
• Inverso z z = iC 2 2 2 2a +b a +b

Definizione 2.1. Dato il numero complesso z = a + ib si definisce coniugato di z (e si indica con z̄ ) il numero complesso z̄ = a ib.

Le proprietà del coniugato di un numero complesso sono:

• ∈z + z̄ = 2a R2 2
• ∈z z̄ = a + b R
• z + z = z̄ + z 0 0
• zz = z̄ z 0 0
• ⇐⇒ ∈z = z̄ z R

Definizione 2.2. Si definisce modulo del numero complesso z = a + ib il numero reale √ √2 2|z|= a + b = z z̄ = ρ.

Definizione 2.3. Si definisce argomento del numero complesso z = a + ib l’angolo aρ bθ = arccos = arcsin .ρ

Forma trigonometrica di un numero complesso: z = ρ(cos θ + i sin θ) 0 0 0

⇐⇒ ∧ ∈z = z ρ = ρ θ = θ + 2πk, k Z 0 0 0 0

zz = ρρ [cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )] n n

Formula di De Moivre: z = ρ [cos(nθ) + i sin(nθ)]

Teorema 2.0.1 (fondamentale dell’algebra). Un’equazione algebrica di grado n a coefficienti reali ha sempre esattamente n soluzioni in campo complesso.

Proposizione 2.0.2. Un’equazione algebrica di grado dispari a coefficienti reali ha sempre almeno una soluzione reale.

n ∈ ∀ ∈ Dimostrazione. Sia a x + ....... + a x + a = 0 con a i = 0...n e sia αR Cn 1 0 in soluzione, quindi a α + ....... + a α + a = 0 . Per le proprietà dei numeri complessi, sia n 1 0 nn ha anche che a α + ....... + a α + a = 0̄ e conseguentemente a ᾱ +.......+a ᾱ+a = 0 n 1 0 n 1 0, quindi anche ᾱ è soluzione. α e ᾱ sono soluzioni accoppiate, quindi se n è dispari, per il teorema fondamentale dell’algebra, un numero dispari di coppie di soluzioni coniugate (in particolare almeno 1) deve coincidere ed essere perciò un unico numero reale. Si è quindi provato che un’equazione algebrica di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una radice reale.

n radici n-esime di un numero complesso: x = α = ρ (cos θ + i sin θ ) 0 0 0 0n

⇐⇒α = ρ(cos θ + i sin θ) è soluzione α = α0 √ θ 2πkn

⇐⇒ ∧ ∈ρ (cos(nθ) + i sin(nθ)) = ρ (cos θ + i sin θ ) ρ = ρ θ = + ,k0n Z0 0 0 0 n n a+ib

Definizione 2.4. Si definisce esponenziale complesso il numero complesso e =ae (cos b + i sin b). L’esponenziale complesso gode delle stesse proprietà delle potenze di numeri reali. iθ

Dall’uguaglianza e = cos θ + i sin θ si può giungere alla forma esponenziale di un iθ numero complesso z = ρe

Capitolo 3

Matrici, determinanti e sistemi lineari

Definizione 3.1. Si definisce matrice m n ad elementi in un campo K un insieme di · m n elementi del campo disposti in m righe e n colonne.

⌈ ⌉a a . . . a11 12 1n...⌊ ⌋A = ⌊ ⌋...⌋ ⌉a a . . . am1 m2 mn

Definizione 3.2. Se m = n la matrice è detta quadrata e gli elementi a tali che i = j ij formano la diagonale principale mentre quelli tali che i + j = n + 1 formano la diagonale secondaria.

∈ · Definizione 3.3. Si definisce matrice trasposta di una matrice A K(m n) la matrice t ∈ · A K(n m) ottenuta scambiando le righe con le colonne.

∈ · Definizione 3.4. Una matrice quadrata A K(n n) è detta:

• Simmetrica se a = a ∀ i, j = 1....n e quindi A = Aij ji t
• −a ∀ −Antisimmetrica se a = i, j = 1....n quindi A = A e a = 0ij ji ii t
• Triangolare superiore se a = 0 ∀ i > jij
• Triangolare inferiore se a = 0 ∀ i < jij
• 6Diagonale se a = 0 ∀ i = jij

∈ · Somma di matrici A = (a ) e B = (b ) K(m n) : A + B = (a + b ) con le ij ij ij ij proprietà:

• Commutativa
• Associativa
• Elemento neutro
• Opposto

· L’insieme delle matrici m n con l’operazione di somma costituisce un gruppo abeliano · (M (m n), +)

∀ ∈ ∀ ∈ · Prodotto di una matrice per uno scalare del campo λ K, A K(m n) λA = (λa )ij

∈ · ∈ · · Prodotto righe per colonne A K(m n) e B K(n p) : si definisce A B =nP ∈ · a b con le proprietà:C K(m p) con c =ij ik kjk=1

• Associativa
• Distributiva del prodotto rispetto alla somma

∈ · n.b.: non vale la proprietà commutativa (e, tranne nel caso in cui A K(m n) e ∈ · B K(n m), se è definito AB non sarà definito BA)

Definizione 3.5. Si definisce determinante di una matrice quadrata una funzione che associa ad una matrice quadrata un numero del campo con determinate proprietà (multilinearità, alternanza, normalizzazione per la matrice identità) f : K(n n) K,7 · →

−→ |A detA =| An=1 A = (a ) detA = a11 11

⌈ ⌉a a11 12 −n=2 A = detA = a a a a11 22 12 21⌋ ⌉a a21 22

A = sottomatrice ottenuta cancellando l’i-esima riga e la j-esima colonnaij

1’ formula di Laplace n i+kP

• (−1) a detArispetto alla riga i detA = ik ikk=1

n j+kP

• Rispetto alla colonna j detA = (−1) a detAkj kjk=1

2’ formula di Laplace nX k+r(−1) a detA = 0kr ksk=16con r = s

Osservazione 1. La seconda formula di Laplace implica che se una matrice ha due righe uguali allora il determinante è nullo.

Proprietà del determinante

⌈ ⌉ ⌉⌈a a . . . a A11 12 1n 1... . . .⌊ ⌋ ⌋⌈notazione A = =⌊ ⌋ ⌋⌈... . . .⌋ ⌉ ⌉⌋a a . . . a An1 n2 nn n

⌉ ⌉⌈ ⌈A A1 1... . . .⌋ ⌋⌊ ⌊⌋ ⌋⌊ ⌊

• ρA AP1. det = ρdeti i⌋ ⌋⌊ ⌊⌋ ⌋⌊ ⌊... . . .⌋ ⌉⌉ ⌋A An n

Dimostrazione. Per induzione, dopo aver verificato il caso banale n=1, si suppone vera la proprietà per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.

⌈ ⌉A 1...⌊ ⌋ n⌊ ⌋ i+kPρAdet = (−1) ρa detA = ρdetA.i ik ik⌊ ⌋⌊ ⌋ k=1. . .⌋ ⌉A n

⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉A A A1 1 1... . . . . . .⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋

• A + B A BP2. det = det + deti i i i⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋... . . . . . .⌋ ⌉ ⌉⌋ ⌉ ⌉⌋ ⌉A A An n n

Dimostrazione. Per induzione, dopo aver verificato il caso banale n=1, si suppone vera la proprietà per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.

⌈ ⌉A 1...⌊ ⌋ n⌊ ⌋ i+kPA + B (−1) (a + b )detA = detA + detB.=det i i ik ik ik⌊ ⌋⌊ ⌋ k=1. . .⌋ ⌉A n

⌈ ⌉⌈ ⌉ AA 11 . . .. . .⌊ ⌋ ⌊ ⌋⌊ ⌋ ⌊ ⌋AA ji ⌊ ⌋⌊ ⌋ ⌊⌊ ⌋ ⌋ 6−det

• . . .. . . con i = j=P3. det ⌊ ⌋ ⌊ ⌋⌊ ⌋ ⌊ ⌋A Aj i⌊ ⌋⌊ ⌋⌊ ⌋ ⌊ ⌋. . . . . .⌋ ⌉ ⌉⌋ ⌉A A nn

Dimostrazione. Si verifica applicando le proprietà precedenti alla seguente matrice con determinante nullo (avendo due righe uguali)

7 ⌉ ⌉ ⌉⌉ ⌈ ⌈ ⌈⌉ ⌈⌈ AAA A A1 1 111 . . . . . . . . .. . .... ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ A A AAA + A i j jii j ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ . . . . . . . . .. . .. . . + det= 0 = detdet + det + det =⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ A A AAA + A j i jii j ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌊ ⌊ ⌊⌋ ⌊⌊ . . . . . . . . .. . .... ⌋ ⌉ ⌉ ⌉⌉ ⌋ ⌋ ⌋⌉ ⌋⌋ A A AAA n n nnn

⌉⌉ ⌈⌉ ⌈⌉ ⌈⌈ AAAA 1111 . . .. . .. . .. . . ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ AAAA jiji ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ −det . . .. . .. . .. . . .==⇒ det+ detdet ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ AAAA ijij ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌋ ⌊⌊ . . .. . .. . .. . . ⌋⌉⌉ ⌋⌉ ⌋⌉ ⌋⌋ AAAA nnnn

• ∈ ·P4. Il determinante della matrice identità (A (n n) tale che a = δ , dove δij ij ij6 è il delta di Kronecker, uguale a 1 se i = j e uguale a 0 se i = j) vale 1.

Il determinante non cambia se si somma ad una riga una combinazione lineare delle rimanenti righe.

Si dimostra essere unica la funzione che gode delle proprietà P1, P2, P3 e P4.

Le proprietà enunciate per le righe valgono ugualmente per le colonne e in particolare t vale anche che detA = det A

Teorema 3.0.3 (di Binet). det(AB) = det(A)det(B) det(AB)

· → 6 ∀ ∈ · Dimostrazione. f : K(n n) K fissata B con detB = 0 A (n n) f (A) = det(B)f (A) gode delle proprietà P1, P2, P3, P4 e quindi f (A) = det(A)det(AB) ⇐⇒det(A) = det(AB) = det(A)det(B)det(B)il teorema, come si proverà più avanti, continua a valere anche se det(B) = 06

Teorema 3.0.4 (di invertibilità). A è invertibile se e solo se detA = 0

−1 −1⇒ 6Dimostrazione. Hp)∃ A /AA = I Ts) detA = 0

−1 −1det(AA ) = det(I) = 1, per il teorema di Binet det(A)det(A ) = 1 e per la legge di 6annullamento del prodotto deve essere detA = 0

−1 −1⇐ 6 ∃Hp)detA = 0 Ts) A /AA = I

detAi+j ijconsidero B = (b ) = ((−1) )ij detA detA detA1+n

⌈ ⌉ ⌈ ⌉a a . . . a . . . . . . (−1)11 n111 12 1n detA detA... ...⌊ ⌋ ⌊ ⌋A = B =⌊ ⌋ ⌊ ⌋... ...⌋ ⌉ ⌋ ⌉detA detA1+na a . . . a (−1) ......1n nnn1 n2 nn detA detA

AB =⇒

• I-esima riga di A per i-esima colonna di B, per la prima formula di Laplace è uguale a1
• 6I-esima riga per j-esima colonna (i = j), per la seconda formula di Laplace è nullo

−1AB è quindi uguale alla matrice identità, perciò B = A .

Si è quindi trovata esplicitamente l’espressione dell’inversa di una matrice con determinante non nullo.

Sistemi lineari

Prendiamo in considerazione un sistema quadrato (detto di Cramer) di n equazioni in n incognite

⌉a x + . . . . . . + a x = b11 1 1n n 1⌊⌉......⌊a x + . . . . . . + a x = b⌋ n1 1 nn n n

Il sistema può essere scritto in forma matriciale

⌉⌉ ⌈⌉ ⌈⌈ xba a . . . a 1111 12 1n . . .. . .... ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌊ AX = BX =B =A = ⌋⌉⌉ ⌊⌋ ⌊⌊ . . .. . .... ⌋⌉⌉ ⌋⌉ ⌋⌋ xba a . . . a nnn1 n2 nn

detA detA1+n⌈ ⌉⌉ ⌈ b. . . . . . (−1)11 n1 1detA detA . . .. . .−1 ⌊ ⌋⌉ ⌊6Se detA = 0 si può scrivere X = A B = ⌊ ⌋⌉ ⌊. . ....⌋ ⌉⌉ ⌋detA detA1+n b......(−1) nn1n ndetA detA

(1) (i−1) (i+1) ndet(A ...A BA ...A )Ciascuna delle incognite x sarà quindi uguale a (regola di i detACramer)

∈ ⇐⇒Definizione 3.6. Si definisce rango di una matrice ρ(A) = p N

• ∃ Una sottomatrice di ordine p con determinante non nullo
• Ogni sottomatrice di ordine superiore a p ha determinante nullo

Definizione 3.7. In una matrice A, r righe si dicono linearmente indipendenti se l’unica loro combinazione lineare che fornisce la riga nulla è quella a coefficienti tutti nulli.

Definizione 3.8. In una matrice A, r righe si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che fornisce la riga nulla e in questo caso è possibile esplicitare una riga il cui coefficiente è non nullo come combinazione lineare delle rimanenti.

Proprietà del rango:

• 0⇒ ≤A’ sottomatrice di A ρ(A ) ρ(A )
• ρ(A) = ρ( A)t
• Scambiando due righe o colonne il rango non cambia

Osservazione 2. Se A , A , . . . , A indipendenti⇒ ogni sottinsieme è linearmente indi-1 2 npendente.

Osservazione 3. Se A , A , . . . , A dipendenti se si aggiungono righe, restano dipen-1 2 ndenti.

∈ · Teorema 3.0.5 (degli orlati). Sia A K(m n). Se ρ(A) = p allora esistono p righe (e colonne) linearmente indipendenti e ogni altra è combinazione lineare delle p indipendenti.

⌈ ⌉a . . . a . . . a11 1p 1n...⌊ ⌋⌊ ⌋a . . . a . . . aDimostrazione. A = p1 pp pn⌊ ⌋⌊ ⌋...⌋ ⌉a . . . . . . . . . am1 mn

B sottomatrice di A di ordine p con determinante diverso da 0 perché il rango di A è p⇒ 6 ⇒righe(righe dipendenti detB = 0)⇔ (detB = 0 indipendenti)

⌈ ⌉a ... a a11 1p 1,p+1. . . . . . ...0 ⌊ ⌋B = ⌊ ⌋a ... a ...p1 pp⌋ ⌉a . . . a ap+1,1 p+1,p p+1,p+1

B’ è orlata con una riga in più scelta tra la rimanenti e una colonna qualunque 0

• ∀1’ caso i > p j = 1, ..., p 2 colonne uguali quindi detB = 0
• ∀2’ caso i > p j = p + 1, ..., n B’ sottomatrice di A di ordine p+1 ma il rango di 0A è p quindi detB = 0

01+j i+j 60 = (−1) detB + . . . + (−1) a detB = 0 con detB = 0ij1j 01+j(−1) a detBij 1j

∀ ⇒ −i > p∀ j = 1, ..., n a a = + . . . = λ a + . . . + λ a =ij ij 1 1j p pjdetBpP λ ai iji=1

Teorema 3.0.6 (di Rouché-Capelli). Un sistema m·n ha soluzione se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice