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Verso l’Esame di Stato nel Liceo Scientifico

Problema γ 2

Considerata la parabola di equazione y = 4x − x2, determinare il trapezio isoscele di area massima γ inscritto nel segmento parabolico appartenente al primo quadrante.

Soluzione

La parabola ha asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, come vertice V(2; 4) e passa per l’origine O degli assi cartesiani. Il secondo punto in cui taglia l’asse delle ascisse è A(4; 0).

Per risolvere il problema occorre condurre una retta s parallela all’asse delle ascisse, che intersechi l’arco di parabola contenuto nel primo quadrante nei punti P e Q e determinare per quale posizione di s il quadrilatero convesso di vertici O, A, P, Q, che è un trapezio isoscele per la simmetria di cui gode la parabola, ha area massima.

In riferimento alla figura a lato risulta:

  • Q(4 − x; 4x − x2), con 0 ≤ x ≤ 2.
  • Il punto P è simmetrico di Q rispetto all’asse di simmetria x = 2 della parabola e dunque le sue coordinate sono xP = 4 − xQ = 4 − (4 − x) = x; yP = yQ = 4x − x2.
  • La misura della base maggiore OA del trapezio è quattro e la misura della base minore QP è QP = 4 − 2x.
  • L’altezza del trapezio è uguale al valore delle ordinate dei punti P, Q: h = 4x − x2.

Ciò premesso, l’area del trapezio OAPQ è

S(x) = (OA + QP) · h / 2 = x(4 − x)2.

Si deve determinare il valore del massimo assoluto della funzione ottenuta con x variabile nell’intervallo [0; 2]. Poiché la funzione in esame è un polinomio, che è continua, nonché derivabile, per il teorema di Weierstrass siamo certi che ammetterà il valore massimo.

La derivata prima è

S′(x) = −(x − 4)(3x − 4).

Si riconosce immediatamente che per x = 4/3 si ha il massimo relativo, nonché assoluto, per la funzione. Il valore del massimo è

Max S(4/3) = 32/9.

I punti P e Q hanno coordinate: P(8/3; 32/9); Q(4/3; 32/9).

Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it

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Trapezio inscritto in una parabola – esercizio svolto Pag. 1
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Sintesi

Esercizio di geometria analitica

In questo appunto viene proposto e viene svolto un esercizio di geometria analitica utile per prepararsi all’esame di stato di un liceo scientifico; tale problema riguarda un trapezio inscritto in una parabola.

Testo del problema

Considerata la parabola γ di equazione

[math]y=4x-x^2[/math]
, determinare il trapezio isoscele di area massima inscritto nel segmento parabolico di γ appartenente al primo quadrante.

Studiamo le caratteristiche della parabola

Ricordiamo che una parabola è il luogo geometrico dei punti caratterizzati dall’avere i punti equidistanti da un punto fisso che prende il nome di fuoco e da una retta che prende il nome di direttrice.

La parabola è caratterizzata da un’equazione generale con la seguente forma:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

L’elemento fondamentale di una parabola è il fatto di contenere un termine al quadrato all’interno dell’equazione; il coefficiente (a) di tale termine al quadrato determina la concavità della parabola indipendentemente dal valore del coefficiente.

Se tale coefficiente è positivo allora la parabola ha la concavità verso l’alto mentre se tale coefficiente è negativo allora la parabola avrà la concavità verso il basso.

La parabola riportata nel problema ha equazione

[math]y=4x-x^2[/math]
.

Dato che il coefficiente del termine di secondo grado è negativo si ha che la parabola ha concavità verso il basso.

Possiamo ora calcolare alcuni elementi caratteristici della parabola quali il vertice e le eventuali intersezioni con gli assi.

Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del vertice possiamo utilizzare le formule che ci forniscono le coordinate di tale punto, noti i parametri dell’equazione della parabola; tali equazioni sono:

[math]V=(-\frac{b}{2a} ; -\frac{b^2-4ac}{4a})[/math]

Osservando l’equazione della parabola e confrontandola con l’equazione generale

[math]y=ax^2+bx+c[/math]
possiamo affermare che:

[math]a=-1[/math]

[math]b=4[/math]

[math]c=0[/math]

Sostituendo tali valori nelle equazioni che permettono di esprimere le coordinate del vertice otteniamo che:

[math]V=(-\frac{4}{-2} ; -\frac{4^2}{-4}) = (2;4)[/math]

Proviamo a calcolare ora le coordinate dei punti di intersezione tra la parabola e l’asse x, per fare ciò poniamo y=0 e risolviamo l’equazione (l’equazione è di secondo grado, perciò si otterranno due soluzioni).

[math]4x-x^2=0[/math]

Per risolvere tali equazioni possiamo procedere con la scomposizione del membro di destra, dato che nell’equazione non è presente un termine noto, per scomporre l’espressione è sufficiente raccogliere la variabile x.

[math]x(4-x)=0[/math]

Le soluzioni dell’equazione possono essere trovate ponendo uguale a zero i due fattori del prodotto, facendo ciò si ottiene che le intersezioni con l’asse delle ordinate sono

[math]x=0[/math]
e
[math]x=4[/math]
.

La parabola di equazione

[math]y=4x-x^2[/math]
ha quindi asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, come vertice V(2;4) e passa per l’origine O degli assi cartesiani. Il secondo punto in cui taglia l’asse delle ascisse è A(4;0).

A questo punto è consigliato tracciare il grafico della parabola in un piano cartesiano in modo da comprendere meglio il problema (tale grafico è riportato nel file che si trova in allegato).

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo del vertice della parabola vedi anche qua

Risoluzione del problema

Per risolvere il problema occorre condurre una retta s parallela all’asse delle ascisse, che intersechi l’arco di parabola contenuto nel primo quadrante nei punti P e Q e determinare per quale posizione di s il quadrilatero convesso di vertici O, A, P, Q, che è un trapezio isoscele per la simmetria di cui gode la parabola, ha area massima.

In riferimento alla figura a lato risulta:

  • Q(x ;4x-x^2), con 0≤x≤2.
  • Il punto P è simmetrico di Q rispetto all’asse di simmetria x=2 della parabola e dunque le sue coordinate sono
    [math]x_P=4-x_Q=4-x;[/math]
    [math]y_P=y_Q=4x-x^2[/math]
  • La misura della base maggiore OA del trapezio è quattro e la misura della base minore QP è
    [math]\overline{QP}=x_P-x_Q=4-2x[/math]
  • L’altezza del trapezio è uguale al valore delle ordinate dei punti P, Q:
    [math]h=4x-x^2[/math]

Ciò premesso, ricordiamo che in generale l’area del trapezio si trova sommando la base maggiore (B) e la base minore (b), moltiplicando per l’altezza (h) e dividendo il tutto per 2; in seguito è riportata la formula sotto forma di espressione matematica:

[math]A=\frac{(b+B) \cdot h}{2}[/math]

Il problema ci richiede il calcolo dell’area del trapezio iscritto nella circonferenza perciò per prima cosa bisogna individuare gli elementi del trapezio e le relative lunghezze, fatto ciò è possibile affermare che l’area del trapezio OAPQ è:

[math]S(x)=\frac{\overline{OA}+\overline{QP} \cdot h}{2}= x(4-x)^2[/math]

Si deve determinare il valore del massimo assoluto della funzione ottenuta con x variabile nell’intervallo [0;2].

Poiché la funzione in esame è un polinomio, che è continua, nonché derivabile, per il teorema di Weierstrass siamo certi che ammetterà il valore massimo.

Ricordiamo che per determinare il massimo di una funzione a una variabile (la variabile x) è necessario calcolare la derivata prima della funzione e porla uguale a zero, una volta fatto ciò è possibile trovare i valori della variabile x per i quali si ha il massimo della funzione (in questo caso la funzione corrisponde all’area del trapezio).

La derivata prima è:

[math]S’(x)=(x-4)(3x-4)[/math]

Si riconosce immediatamente che per

[math]x=\frac{4}{3}[/math]
si ha il massimo relativo, nonché assoluto, per la funzione.

Il valore del massimo è:

[math]Max=S(\frac{4}{3})=\frac{32}{9}[/math]

I punti P e Q hanno coordinate:

[math]P(\frac{8}{3};\frac{32}{9}) , Q(\frac{4}{3},\frac{32}{9})[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul teorema di Weierstrass, sulla dimostrazione e su ulteriori esempi applicativi vedi anche qua

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