Teoria algebra lineare

Sottospazi vettoriali

(V, +, ·) spazio vettoriale su un campo k.

S ⊂ V.

Se (S, +, ·) è uno spazio vettoriale ⇒ S è sottospazio di V.

Deve verificare:

• 1) ∀ v₁, v₂ ∈ S : v₁ + v₂ ∈ S
• 2) ∀ v ∈ S, λ ∈ k : λv ∈ S

Base

Un sistema di vettori B = {v₁, ..., v_n} si dice base se:

• 1) B è un sistema di generatori V = Span{v₁, ..., v_n}
• 2) B è un sistema di vettori linearmente indipendenti

Ogni vettore v ∈ V si può scrivere come decomposizione rispetto alla base.

v = ∑ x_iv_i (v è combinazione lineare degli elementi del sistema)

Teorema di decomposizione unica rispetto ad una base

Un sistema di vettori β = {v₁, ..., v_n} è una base se e solo se ogni vettore di V ha un'unica decomposizione rispetto a B.

Dim.

“⇒”

B base ⇒ v si decompone in maniera unica.

B = base, in particolare x₁, ... , x_n le sue generatori.

Quindi esiste almeno una decomposizione del vettore v rispetto a B.

Supponiamo per modo che ci siano due decomposizioni distinte.

v = ∑ x_iv_i e v = ∑ x'_iv_i con x_i ≠ x'_i

Sottraendo membro a membro:

0 = v - v = ∑ x'_iv_i - ∑ x_iv_i = ∑ (x'_i - x_i)v_i

Essendo i vettori v_i linearmente indipendenti si ha x'_i - x_i = 0, cioè x_i = x'_i e quindi ogni vettore si può decomporre in maniera unica rispetto alla base.

“⇐” Ogni vettore ha decomposizione unica rispetto a B ⇒ B base.

Ogni vettore si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare di vettori di B, quindi il sistema genera lo spazio.

Sottospazi vettoriali

(V, +, ·) spazio vettoriale su un campo k.

S ⊂ V.

Se (S, +, ·) è uno spazio vettoriale ⇒ S è sottospazio di V.

Deve verificare:

• 1) ∀ v₁, v₂ ∈ S : v₁ + v₂ ∈ S
• 2) ∀ v ∈ S, λ ∈ k : λv ∈ S

Base

Un sistema di vettori B = {v₁, ..., v_n} si dice base se:

• 1) B è un sistema di generatori V = Span {v₁, ..., v_n}
• 2) B è un sistema di vettori linearmente indipendenti

Ogni vettore v ∈ V si può scrivere come decomposizione rispetto alla base.

v = ∑ x_iv_i (v è combinazione lineare degli elementi del sistema)

Teorema di decomposizione unica rispetto ad una base

Un sistema di vettori β = {v₁, ..., v_n} è una base se e solo se ogni vettore di V ha un'unica decomposizione rispetto a B.

Dim:

⇒ B base ⇒ v si decompone in maniera unica.

B = base, in particolare e₁, ..., e_n le sue generatori.

Quindi esiste almeno una decomposizione del vettore v rispetto a B.

Supponiamo per assurdo che ci siano due decomposizioni distinte.

v = ∑ x_ie_i e v = ∑ x_i'e_i con x_i ≠ x_i'

Sottraendo membro a membro:

0 = v - v = ∑ x_ie_i - ∑ x_i'e_i = ∑ (x_i - x_i')e_i;

Essendo i vettori e_i linearmente indipendenti si ha x_i - x_i' = 0, cioè x_i = x_i' e quindi ogni vettore si può decomporre in maniera unica rispetto alla base.

⇐ Ogni vettore ha decomposizione unica rispetto a B ⇒ B base.

Ogni vettore si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare di vettori di B, quindi il sistema genera lo spazio.

Bisogna far vedere che i vettori sono linearmente indipendenti: consideriamo la combinazione lineare nulla.

∑_i=1^m λ_ie_i = 0̲ ma 0̲ = ∑_i=1^m 0 e_i

Poiché ogni vettore deve avere un'unica decomposizione rispetto a B, perché λ_i = 0 i=1,...,m e_i sono linearmente indipendenti.

Teorema del completamento della base o della base incompleta

Sia B= {e₁,...,e_m} base di uno spazio vettoriale V. Sia {v₁,...,v_m} m < n sistema di vettori linearmente indipendenti, si possono scegliere m-n vettori di B tali che formano una base con v₁,v_m: creiamo un'altra base B' = {v₁,...,v_m, l_(m+1),..., l_(n)} m-n vettori di B.

Dim proviamo in maniera ricorsiva m=1.

V₁ ≠ 0̲ (altrimenti sarebbe un vettore l.a.) trovo m-1 vettori di B per formare una nuova base.

Poiché B è base V₁= x₁e₁ + ... + x_ne_n, x_i non sono tutti nulli (alternamenti otterrei il vettore nullo).

Supponiamo per semplicità x₁ ≠ 0, esprimo e₁ come c.l. degli altri vettori (v₁,e₂,...,e_m).

x₁e₁ = v₁ - x₂e₂ - ... - x_ne_n

e₁ = 1/x₁v₁ + x₂/x₁ e₂ - ... - x_m/x₁e_n ─ c. l. di B'

B' = {v₁,e₂,e₃,...e_n}

Proviamo che B' è una base.

V = span{e₁,e₂,e₃,...e_n} = span{1/x₁v₁ = - ∑_i=2 x_i/x₁ e_i, e₂,..., e_n} = span{v₁,e₂,...e_n}

B' è un sistema di generatori.

Prove che B' è libero.

λ₁v₁ + λ₂r₂ + ... + λ_nr_n = ̲

Supponiamo λ₁ ≠ 0 ⇒ V₁ = -λ₂/n r₂ - ... - λ_n/n r_n, ma la decomposizione di V₁ rispetto a B è unica.

Da prima v₁ = x₁r₁ + x₂r₂ + ... + x_nr_n

⇒λ₁x₁ = 0 (abbiamo supposto x₁ ≠ 0) ass.∙

Sia λ₂ = 0 ⇒ λ₂r₂ + ... + λ_nr_n = ̲

I vettori r₂, ..., r_n sono l.i. ⇒ λ₂ = λ₃ = ... = λ_n = 0

⇒{v₁, r₂, ..., r_n} l.i.

Ci siamo costruiti a partire da una base e da un singolo vettore, un'altra base che è costituita da quel singolo vettore più n-1 vettori della base di partenza.

m = 2 ⇒{v₁, v₂} B = {e₁, ..., e_n}

B' = {v₁, e₂, ..., e_n}

Analogo ragionamento applicato a V₂ e B'.

B'' = {v₁, v₂, e₃, ..., e_n} □

Caso particolare m = n corollario

Sia B = {e₁, ..., e_n} base e un sistema di vettori S = {v₁, ..., v_n} R.i.

Allora S è una base per V.

B' = {v₁, e₂, ...}

B'' = {v₁, v₂, ...}

B⁽ⁿ⁾ = {v₁, ..., v_n} (tolto anche l'ultimo vettore della base di partenza)

Si ottiene una base composta da 3 vettori; allora ogni sistema di 3 vettori l.i. costituisce una base di quello spazio.

Teorema della dimensione

Sia V spazio vettoriale (su un certo campo).

B = {e₁, ..., e_n} base.

v₁, ..., v_m l.i. ⇒ m ≤ n

B' = {β₁, ..., β_m} base ⇒ m = n

Dim

Se m > n {v₁, ..., v_n, v_n+1, ..., v_m}

{v₁, ..., v_n} è una base per il teorema precedente.

Allora v_n+1 è c.l. di {v₁, ..., v_n}.

⇒ {v₁, ..., v_n} l.d.

Non posso avere più di n vettori l.i.

(i restanti vettori sono c.l.)

e₁, ..., e_m sono l.i. ⇒ m ≤ n

Consideriamo B' = {β₁, ..., β_m} base e e₁, ..., e_m vettori l.i.

Se β₁, ..., β_m è una base, non posso avere più di m vettori l.i.

⇒ n ≤ m

⇒ m = n

Disuguaglianza di Schwarz

Sia V spazio vettoriale euclideo.

|| ≤ ||v|| ||w||

Dim

∀λ ∈ R consideriamo λv + w.

0 ≤ ||λv + w||² = = + + + = + λ + λ + = = λ² ||v||² + 2λ + ||w||² = P₂(λ) > 0       polinomio di 2° grado

aλ² + bλ + c ≥ 0

a = ||v||²

b = 2

c = ||w||²

Δ ≤ 0

Δ = 4 ² - 4 ||v||² ||w||² ≤ 0 ⇒ ² ≤ ||v||² ||w||²

⇒ || ≤ ||v|| ||w||

Conseguenze

Se ho v̂ e ŵ

-||v|| ||w|| ≤ ≤ ||v|| ||w||

-1 ≤ ≤ 1

cosθ

Disuguaglianza di Minkowski disuguaglianza triangolare

||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||

Dim.

||v + w||² = ||v||² + 2 + ||w||² ≤ ||v||² + 2 ||v|| ||w|| + ||w||² ≤ (||v|| + ||w||)²

Identità di Grassmann caso somma diretta

dim(F ⊕ G) = dimF + dimG

F ∩ G = {0}

Dim

Sia B_F = {β₁, ..., β_p} una base di F.

Sia B_G = {g₁, g_q} una base di G.

dimF = p

dimG = q

F + G = Span{β₁, ..., β_p, g₁, ..., g_q}

Se dimostriamo che {β₁, ..., β_p, g₁, ..., g_q} è una base di F+G, abbiamo finito.

Sono generatori.

Vettori l.i.

∑_i=1^p λ_iβ_i + ∑_j=1^q μ_jg_j = 0 ⇔ β + g = 0 ⇒ β = -g ⇒ β ∈ G ⇒

⇒ {β ∈ F ∩ G = {0}}

Allora β = ∑_i=1^p λ_iβ_i = 0

Ma β_i sono l.i. perché B_F è base.

⇒ λ₁, ..., λ_p = 0

Allora 0 + ∑_j=1^q μ_jg_j = 0. Ma g_j sono l.i. perché B_G è base.

⇒ μ₁, ..., μ_q = 0

⇒ β₁, ..., β_p, g₁, ..., g_q sono l.i.

B_F+G = {β₁, ..., β_p, g₁, ..., g_q}

dim(F + G) = p + q (p = dim F e q = dim G)

Teorema di Rouché-Capelli

Sistema di m equazioni in n incognite.

Il sistema è compatibile ⟺ rankA = rankA' = r.

Nel caso di compatibilità:

• Se n = r esiste un'unica soluzione
• Se r < n esistono n - r infiniti di soluzioni (dipendenti da n - r parametri)

Dim

Ax = b

A₁ = \(\begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{m1} \end{pmatrix}\) , Aₙ = \(\begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{mn} \end{pmatrix}\) ∈ Rⁿm

Sistema compatibile ⟺ esistono x₁, ..., xₙ t.c.

x₁ A₁ + x₂ A₂ + ... + xₙ Aₙ = b ⟹ b è c.r. di A₁, ..., Aₙ

(⟺) b ∈ Span {A₁, ..., Aₙ} (⟺) rank{A₁, ..., Aₙ} = rank{A₁, ..., Aₙ, b}

• Caso n = r ⟹ A₁, ..., Aₙ è una base per Span{A₁, ..., Aₙ} ⟹ A₁, ..., Aₙ sono l.i. ⟹ ∃!, decomposizione di b rispetto a A₁, ..., Aₙ
• Caso r < n ⟹ si possono prendere n vettori l.i. di A₁, ..., Aₙ. Supponiamo A₁, ..., Aᵣ sono l.i.

x₁ A₁ + ... + xᵣ Aᵣ = b - xᵣ₊₁ bᵣ₊₁ - ... - xₙ Aₙ

Cosa precedente xᵣ₊₁, ..., xₙ parametri.

Conseguenze

Sistema omogeneo Ax=0 è sempre compatibile.

rank{A₁,…,Aₘ} = rank{A₁,...,Aₘ,→0}

Sistema quadrato di matrice n×n.

Ax=b compatibile (⇔) detA ≠ 0 → Caso del Sistema di Kramer (con unica soluzione)

A matrice quadrata.

Ax=0 ammette soluzioni non banali (⇔) det A = 0 (diverse da quella nulla)

Sistema di Kramer

m=n=r

Sia A matrice n×n.

Se detA ≠ 0 allora Ax=b ammette un'unica soluzione data da:

x_i = det{A₁,…,A_i-1,b,A_i+1,…,Aₘ} / detA