Teoria - Geometria e Algebra Lineare

Geometria e algebra lineare: teoria complessi numeri

Geometria ealgebra lineareteoriaCOMPLESSINUMERI odor④ CIR ecPer i ¢risolvere iie IRht ¢2 1introduciamo1=0 con= - , complessi 'ènumeridei cidefinizione di vistaPer dico IRinsiemipunto l' insiemedal :, ,}( la? b) beE IRIR ca== , ,^ b)da ,§ >I 1aSomma b) d) ( )la ( btdt ac te: =, , , )( bdProdotto b) d)(( bcadacca. -: -. = ,,

Proprietà della somma

• Proprieta della' somma) la b)d)a)b)commutativi ta tca(' tcc51 c.: =, ,, )(( ) f)b)associatività) (la) d) (f)(b)(52 tic t ea tce+a.: = ,, ,,,)
• B) b)( (() neutroelemento53 t 0,0 aa: = ,, b)b) )la faesistenza) (dell' opposto54 t 0,0: - =, ,

Proprietà del prodotto

• Proprieta prodotto' delcommutativi 'ta)PL associativitàP2) b)( )b)B) ( laelemento neutro 1,0a: . =, , atfbz( )) fb)b) () )la aibreciproco ( 10(Pa esistenza del se allora0,0+ .: =, , i,a.
• DistributivaProprieta ' ) b) ((d) d) b)( (( f)b) f)( (( et te caC a.a .. =,, ,,, , ( ))

Numeri complessi e interpretazione nel piano

numeri ( numericomplessi realisi identificare EIROss forma i CIi E0 0nella con aa.a. vapossono :: 6diIR è sottoinsiemequindi :immaginarioasse ) )( diE ( Gausspiano0,1• ( )1,0 )(IR realeasse,• •( )0,023102 fogli 01/03

Esercizio con radici e De Moivre

ESERCIZIO ZScalcolare ti7=1dove:% !( ) ?18 )Ki ( )? nel) ti" (( sentocostostile- De Moine sti1 32 Z =: =. )Notisen) )(' Me (VE( ()8 168.2- cos 8 - ==di Noi ottaveèabbiamo conosciamoquindi radiciradiceche 'tiOss ottava due1 16w2- giauna =: = . diradicitre16di Cireali 5 complesseottave 16altreossia sono W =, . 6

Interpretazione geometrica del prodotto

geometricaInterpretazione prodotto indel trasformazioneFissiamo consideriamo la piano fissatodi angoloe 1modulo e del Ztswzwe ,formula )lwzl1aDalla lzlabbiamodi arglzttarglw)cheDe IZIMoi IWHZI aiglwz1.une = = = =rotazione diQuindi trasformazione è originela )all' angolo aigwattornouna1)lwls(wz caso•1^ • )Se ( WIrotazioneIwl coefficientedilatazioneabbiamo di1 alla# oltre una- )IWI( Iwllzl' lwzldilatazionerealmente 1 viceversa)se ez e una : =» •piè Coeff ., fissato> 113 113

Esempi In coeffdiargini rotazione1 BZ questo dilatazione"Zts senzaw e ocaso >: = .. rotazione dittaznizw.ie/wl=1eargCwI=ttt2 dilatazioneorigineall'attorno2 senza. tiro dilatazione) 1tir3.tw/=2eaigw=M3 di dicoeff( rotazione3 1 2Z 3Zhi W e= .. ^ ttip )( z•^§ 3 z. >

Forma esponenziale dei numeri complessi

Forma complessideiesponenziale nun . ioe'se '+ ( tisanaesponenziale )d. definiamo dtioedi E cosoOELR l' come e=, iol' + 'abbiamoPer IRdtio.de techeVR0=0 a° e=io )Clioio ) Perti ReEulero 0=5 laper formula (senocosadi senoossia Incoso1=0 e ee• = = = .formula citta li Scrivendo'-1 ossiadiventa 1=0t ., ioio formagccosotisenot.ge esponenzialez.ge⇐

Proposizione :erezle 2-a) I ¥ eze=b) arglez ) CIIMZ 2- E=-21+2-2c) Z CZZ CIe ' E@ -22Zi= ,

Dimostrazione IWI)a) b) Premessa 0EUR( seno 0ticosa g.conse 0=p =p e+ g) allora argww e:: =, , .IYPer è )+✗ cosytisenyyea (tiydefinizione ✗allora e×2- con✗se e= = =,, È erez )argcez'lezlè ✗ yeO> == = IMZ=ztiyz )) (iyi i)( ( yityzehi a)✗✗c) ✗+ +ezitzz +Se tiy iyz 'Zi -22 ✗✗ allora e+e ai ,= === =, (i " ti( )( )"✗ (✗ )(+ )(CI = ) )di esp.in yityzdef cossen yityz' senyityz yityzcos e@ + e= ==. =L ] ztiyz[ iy]" eziezz✗+(isenyn ✗)(" cosyztisenyz(1) )MoDe 'eiure 'ecosy e+, == CI' didef espin 2ciovedere 'InfattiformuleOss De c)didi conseguenzasiMoile se =pZcomeune possono: ,,,.È (0^+02)i02 02 ili 02fzli 01fili 01g iallora Zizz gigagiga el -22 e e>== =,

Radice quadrata di un numero complesso

Radice quadrata 02103diquadrata complessonumun .Supponiamo la quadratacalcolare di atibdover dobbiamo trovaredi radice iy2- ✗W +;= =tale ') tiMa ( iyche wz Zxy✗÷y2Z wz ✗ + === . 7{Quindi ✗ YZ2wz 2- a<= - = *bZxy =Si di semplificarePerequazioni b assegnatidi dovetratta sistema ydue in sono✗ eun a e .NaztbzI=/Iniziconviene IZIIWIZche Z yzWZ 22-osservare ✗ += = ={'Quindi equivalenteil sistema yz2-✗* e aa =b2 ✗ y = Naztbztyz2✗ = ✓ artt✓Sommando atNaztbjtalotteniamoequazione'3 ossia2×21° dove✗ ✗✗±e a= n == 2✓ Na=tb=_÷Naztbz ( )Dalla differenza 1° troviamo3° Zyztra equazione yn ±a yrye _ = ==Le! solo lsoluzioni soddisfano =Dsistemadel le 'attenzione Zyx2 laChesono .✓ naztb-tat-ipfvaztbt-a.wsle atibradici diquadrate sono Wi un2- == -=2 2' { bzose+ bcose- {

Esempio tai ? ?Z =33. X 2y X ±: - == 'Cerchiamo abbiamoxtiy tale lzlpoiche 4che 5 Zxywz Zw : ==== , -5'" e+9 y #{ { È :!È iinnati .ws a.uneu -..

Equazioni di secondo grado e radici n-esime

Equazioni di I grado cib.la ' ±formula risolutiva dell' ¢bcq.az?tbztC=O ce Zaiaato -ea semprecon e =, , 20radicici èdove badelle didue quadrate D= lacuna -

Radici inesime en - w.INT/cos(ltYt-)tisen(4tf-Itt)))( di'si dice che esimoradiceZee complessa ¢ znwe sene una - =sia

Teorema Esistono radici didistinteesimeWEIC complesse ZnZo1Wto zan wnnze e: - -, .. . .. ., .ft 2kt-rail ÙTf) TèSe rccosqtisen date da 0,1K 1consonow esse zn n= -== = ..., ,, aIIeNIWT" )InIn lznlaltre arglzr larglwit)parole 2kt tree == = paioreirisolveredobbiamoDimostrazione ' 'dove assegnatoZnl' 2-w eca ew: = == .,. gneino ?gneingeio ")Poiche gnleioin(' abbiamozn re=== ,{ r9 "ciò equivale r=a no KEZ2ktlft con=4tf distintego.IT radiciSi soloOra 0,1Kossia ottengono -12KE percon ne == . ... •rail verticiGeometricamente formano i didiesime poligonole radiciOssi unwn - =,. "Trinscrittolati raggiocirconferenza origineregolare di dicentrata nell'nella en ., cittàt" cit%Nfeil'Ntei

Casi con radici

Caso ei 2 NTorZK2 zo zK zon 0,1 e , -: == = = == =,rail il railw = Ww re= =. •° ^^n Z1•Zn ⑦ZO ZO ZO• • •È -rr ItI .• zz413 914,412 >>Zoo ° o- £2 73HÌ )ftp.eitl/3t43tt( 4/3+213TIfreiFrei 413frei

Caso z=3 z1,2K zoZrn 0 , ,=: == = =, ,, v|TÌ )eritrei )"avrei eillletttz" ftp.eilhettt ftp.eill/et3lztttzz.INT

Caso 4 ZK zzo z2,30,1Kn , ,:= == =, ,, , ,

Teorema fondamentale dell'algebra

fondamentaleTeorema dell' algebra coefficienti complessiconsideriamo polinomio di grado n aun :s"PCZ) anzntan.az - dieciZ 1anast cont aot oe += . . .Si P Pczoradice di )èdice ciche 0Zoe seuna = .Qpolinomio PczIn cz-zdaczstz.CC)taledi chetal gradoesiste 1nuncaso =-la di P

Definizione esistemolteplicità ilèe qualeildiradiceZoe perm2o uncome Max: Pcz "polinomio tale (che zo)Q alzi ttzecz) -= ' Pcz Cz )tale "la molteplicità Qlz))che alzoIn zo )altre conparole e #in 0-=, .complessiP polinomioSe di radiciè Clinammettegrado coeff1nz ea allora essoun ,.' soluzionimolteplicitàla Ossialoro Pcztdelle esattamenteammettel' eesomma 0n neq =. , .ripetersipotrebberoalcune di queste .) polinomio si puòCorollario ( ilfatto scrivere1diteorema rizzazione come: Plz ) ( le) dove)( Zz)Za Zs( ZnZnZ ZZ SonoZzan sue- --= . .. ,, ,radici .

Metodo lineare di Gauss per sistemi

METODO LINEARIGAUSS SISTEMIPERDI oslos' indisistemalineareUn equazioniDef sistema incognitedi primo gradomemxn un n :.{ bn011 Gin XntX2012Xl t t =.. . iincognitele idovebz terminisonoazn Xn XnXi aij sonot XnXztazzt Xz21 =.. . .., .. ,* | coefficientii terminisistema notidel bi i: ie sono .bnXnami ammtana XztXn =. .. èUna equazionisoddisfa( ) tutteIn leIzsistema Indelsoluzione cherupiauna , .. . .,termini sinoti tuttiSe il sistema dicei nullisono omogeneo,Il sisistema diceDef lineare *. determinatoil soluzioneunicaammettese un'soluzioniimpossibileil hanonse soluzioniha) infiniteiii indeterminato se le soluzionihannoDef sistemi incognite si stesseequivalentidiconoDue stessenelle se. .

Sistemi triangolari

sistemi triangolari (banaleognitriangolareèSi equazione almenoDef sistemadice che se nonperun. ) equazioneincognita incognita incheesiste compare nell' compareeun' un' nonsuccessivedellenessuna cq . .{

Esempi 37=51) Zy✗ t: - )determinato (sistema 3×3=3 -8-57 19ZZ+y ,,Z 8-={2) -37=5✗ )(sistemaZZ determinato=3 3×3 -8-19,19yt ,-8Z ={ 37=53) Zy✗ + - impossibile3×3sistema12- = - 80 -={4) +3✗ W 02- + = indeterminato (-5W +5153×4Sistema -7W +3=3 2W5Wy W- , ,, )arbitrarioM5Z 2W con we- = .

La sistemi'risoluzione sistemi deiPertriangolaridei semplice esempiomolto nele caso. ,abbiamo3×3 :{ b)( "€ " ✗ " "+✗ + "" ^ "" "= = 62) triangolaresistema( Ez 922azz ✗a✗ Con =/ 0+ an23 32 = ,33×3=63)( E3 ☐ determinatocasoI sistema0933 =/: 923103b23=13 033 sostituiscoottengo ))in ( (Infatti ) inEz ottengo( ✗ - frda E ✗ e} 2 =; f- 922933A 33sostituendo impossibilebasta )I sistemaimpossibile( 'caso 433 0 Es e: = , {b.☒ 343ossia 61✗433caso 3=0 tanaan ant✗ 2^: == , bz923622 ✗ ✗t 32 =3.0✗ 0=qualsiasiPoiche' trattato' parametrovalore viene come✗ epuo assumere un3 , equivalente(G)membro 'CEI sistema) Ilsecondoalportato di ed ae :.{ bnAnz ✗Gt3✗tUn ✗ 32n -= bz A✗azz 23×32 = -bz bi azz 013022 Ht023×3 sistema è indeterminatoOttengo Xe - il-Xz . . .= =,022 and 22 )( infinitesoluzioneGaussIl didi eliminazionemetodo qualsiasiTale trasformare sistema in sistema equivalentecimetodo permette di un unforma Ciotriangolare fare le di Gausssi'sia utilizzandopuòche in mosse :. )

Mosse del metodo di Gauss

• 1)( equazione(moltiplicare dividereG- diverso daun' numeropere un zeromultiplo( 2)G- di equazione delleaggiungere altra caun'un' aun .
• Scambiare3) equazioni( G- dueÈ sistemi collegativerificarefacile essiGaussdalleOss due diche sonoa) mossese: ,equivalentisono .
• Leb) fatteLGZ ) alla voltavannomosse unaVegano Gaussmetodofunziona di partendoil esempiodall'comeora :,/ ftp.i2 I :"2- :yt ?= ÷:*% ; . , ( 3)37=-652=-6 '3g EyZX -- --{ { ÌÈ ?× +¥{ triangolaresistemaottengo un; .

→ 2yt Z = supponiamo InIn talpartiamo sistemadal anchegenerale ancaso0#e* ., termini equazioni'si iusato eliminarepivotchiama dalle altreajnxne puo peressere .){ ( ErbnXz Ann Xnan tana t tXn =.. . aId' )((b ' ) EnEzXnA'Xz tt 2i n22 -=... anone ten)( )Enbinai tainnxnxz t -=.. . an primacompaiasupponiamo tid'