Appunti teoria Geometria e algebra lineare

Teorema di Steinitz

Siano S e T due spazi vettoriali. S = [v₁, ..., v_n] e T = [u₁, ..., u_m]. Se i vettori di S sono linearmente indipendenti e ognuno dei vettori di T dipende da essi, allora m è minore o uguale alla cardinalità di S, ossia m ≤ n, o alla cardinalità di T.

Dimostrazione per induzione

Dimostrazione: consideriamo che S supponiamo n = 1. Se T = [u₁, ..., u_m] e i vettori dovrebbero dipendere da v₁, si ha u₁ = αv₁, u₂ = βv₁.

Ciò significa che a u₁ + b u₂ = 0; quindi dovrebbero essere linearmente dipendenti. Posso sostituire nella seconda uguaglianza, allora nella prima: v₁ = 0. Assurdo, perché i vettori sono linearmente indipendenti.

In realtà, verifichiamo questo caso: il teorema è vero per n - 1, con lo scopo di creare anche un sistema che abbia n vettori. Allora lo è per n + 1.

Passo induttivo

Dimostriamo il teorema per n vettori, quindi dalle ipotesi ogni u_j dipende da v₁, ..., v_n. L'indice i fa riferimento a u_i e l'indice j fa riferimento a v_j.

u₁ = a₁₁v₁ + ... + a_1nv_n
u₂ = a₂₁v₁ + ... + a_2nv_n
...
u_m = a_m1v₁ + ... + a_mnv_n

Essendo i vettori v₁, ..., v_n linearmente indipendenti, se considerassimo l'esistere di a_j1 = 0, allora deve esistere un c_j = 0. Supponiamo che a₁₁ ≠ 0.

u₁ - a₁₂v₂ - ... - a_1nv_n = a₁₁v₁. Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per -a₂₁/a₁₁, risulta:

-a₂₁/a₁₁ u₁ + a₂₁/a₁₁ a₁₂v₂ + ... + a₂₁/a₁₁ a_1nv_n = -a₂₁v₁.

Sostituisco in u₂ = a₂₁v₁ + ... + a_2nv_n, e da u₁ ottengo:

u₂ - a₂₁/a₁₁u₁ = (a₂₂ - a₂₁a₁₂/a₁₁)v₂ + ... + (a_2n - a₂₁a_1n/a₁₁)v_n.

Eseguo le moltiplicazioni e sostituisco: u₂ - c₂u₁ = d₂₂v₂ + ... + d_2nv_n.

Analogamente: u_i - c_iu₁ = d_i2v₂ + ... + d_inv_n.

Sia S' = (w₂, ..., w_m), con w_i = u_i - c_iu₁. Il sistema S' soddisfa le seguenti proprietà.

Conclusione

Ogni vettore di S' dipende linearmente da v₂, ..., v_n. Se w₂, ..., w_m dipendesse linearmente, dipenderebbe linearmente anche u₁, ..., u_m.

Si verifica che m - 1 ≤ n - 1, quindi m ≤ n.

Formula di Grassmann

Sia V uno spazio vettoriale. Siano H e T due sottospazi di V. H ∩ T e H ∪ T.

Formula di Grassmann: dim(H + T) = dim H + dim T - dim(H ∩ T).

Dimostrazione

H ∩ T = H₁, che significa H₁ ⊆ H e H₁ ⊆ T. Quindi dim T = dim(H ∩ T) + dim T - dim(H ∩ T) = dim H₁ + dim T - dim(H ∩ T).

Supponiamo che nell'altro contenuto dei due sottospazi non sia nessuno e indichiamo:

B_H = [u₁, ..., u_h], dim H = h;
B_H∩T = [u₁, ..., u_r];
B_T = [v₁, ..., v_t], dim T = t.

Implicazione dimostrate: B_H ∪ B_T.

Caso 1

B_H ∩ B_T = T + H. I vettori devono essere linearmente indipendenti.

a₁u₁ + ... + a_hu_h + b₁v₁ + ... + b_tv_t = 0.

Per definizione di sottospazio vettoriale, anche -b₁v₁ - ... - b_tv_t appartiene a H ∩ T.

a₁u₁ + ... + a_hu_h = -(b₁v₁ + ... + b_tv_t) (2).

Quindi, per ipotesi, b₁v₁ + ... + b_tv_t = 0 e a₁u₁ + ... + a_hu_h = 0. Poiché B_H e B_T hanno vettori linearmente indipendenti, i coefficienti sono nulli.