Successioni di numeri reali: teoria ed esercizi

Successioni di nr reali

f: IN → IR

Una funzione definita nell'insieme dei numeri IN e che associa ad ogni n ∈ IN un ai ∈ ℝ e si scrive: (an) n ∈ IN

Esempio: an = (-1)ⁿ n ∈ IN

Questo è una successione a segni alterni, i valori che assume sono -1 e 1.

Es: an = 1/n n ∈ ℚ

Successioni convergenti

(ammette un limite finito)

Sia (an) n successione di numeri reali. Diciamo che la successione (an) n converge ad un numero reale l ∈ ℝ e scriveremo:

(an) n → l sse ∀ ε>0, ∃m(ε) ∈ IN: ⎮an-l⎮ ≤ ε, ∀n>m(ε) definitivamente

OSS: dopo mε stiamo tutti dentro la striscia

⎮an-l⎮ ≤ ε ⟺ ε ≤ an-l ≤ ε ⟺ l-ε ≤ an ≤ l+ε

Es: an = 1/n dimostriamo che lime an=0 n→∞

Cioè ∀ ε>0, ∃m(ε) ∈ IN: ⎮an⎮ ≤ ε ∀n>mε

|an| ≤ ε ⟺ 1/n ≤ ε ⟺ n ≥ 1/ε Mε=?

Successioni di nr reali

f: IN → IR

Una funzione definita nell’insieme dei numeri IN e che associa ad ogni n∈IN un aₙ∈IR e si scrive: (aₙ)_n∈IN

Esempio: aₙ = (-1)ⁿ n∈IN questo è una successione a segni alterni i valori che assume sono -1 e 1

Esempio: aₙ = 1/ₙ_n ∈IN

Successioni convergenti

(ammette un limite finito)

Sia (aₙ)_n successione di numeri reali. Diremo che la successione (aₙ)_n converge ad un numero reale l ∈IR e scriveremo:

∀ε>0, ∃M(ε)∈IN: |aₙ-l| ≤ ε, ∀n ≥ M(ε) definitivamente

OSS: dopo Mε, stanno tutti dentro la striscia

|aₙ-l| ≤ ε ⟷ ε ≤ aₙ-l ≤ ε ⟷ l-ε ≤ aₙ ≤ l+ε

Esempio: aₙ = 1/ₙ

Cioè ∀ε>0, ∃M(ε)∈IN: |aₙ| ≤ ε ∀n ≥ Mε

|aₙ| ≤ ε ⟷ 1/ₙ ≤ ε ⟷ 1 ≤ εn ⟷ n ≥ 1/ε

M_ε = ?

M_ε = ⎣¹⁄_ε⎦ supponiamo che M_ε = ¹⁄_ε = 2,5 e prendiamo solo la parte intera ⎣¹⁄_ε⎦ = 2 → M_ε = ⎣¹⁄_ε⎦ +1

Quindi ∀ε > 0, ∃ M_ε [⎣¹⁄_ε⎦ + 1] ∀M > M_ε [¹⁄_ε] < ε

Esempi

Es. a_n = ⁿ⁄_n+1 dimostriamo lim_n→+∞ a_n = 1

|a_n−1| ≤ ε ⇔ |ⁿ⁄_n+1 − 1| ≤ ε ⇔ |^n⁻ⁿ⁺¹⁄_n+1| ≤ ε ⇔ ¹⁄_n+1 ≤ ε ⇔ n+1 ≥ ¹⁄_ε ⇔ n ≥ ¹⁄_ε − 1

M_ε = ?

Se ¹⁄_ε − 1 ≥ 0 → M_ε = ⎣¹⁄_ε − 1⎦ + 1

Se ¹⁄_ε − 1 < 0 → M_ε = 0

_________

Es. a_n = (-1)ⁿ non converge ⇨ ∄ lim a_{n n→+∞}

Controes:

Teorema unicità del limite

Sia (a_n)_n successione di n reali se ∃ lim a_n x → +∞ ⇒ Il limite è unico!

• Se (a_n) converge a l, tale limite è unico. Inoltre non può essere anche una sott. divergente.
• Se (a_n) diverge a ±∞ ⇒ non può divergere a +∞ e non converge

Dimostrazione

∃ lim a_n = l

∃ lim a_n = m

M → +∞

l = m

∀ε>0 |a_n-l|≤ε *def.

∀ε>0 |a_n-m|≤ε *def.

|m-l| = |m-a_n + a_n-l| ⇔ |x+y| ≤ |x|+|y|≤ |m-a_n| + |a_n-l| ≤ ε/2 + ε/2 = ε def.

∀ε>0 0≤|m-l|≤ε ⟹ |m-l|=0 ⟹ m=l (TH)

OSS: a ≥0 e ∀ε>0 ⇒ a ≤ ε ⟹ a=0

ES: a_n = (-1)ⁿ/_M ∈ N\{0}= { M pari     M=0→₁/ⁿ M dispari     1→_-1/ⁿ }

Dimostriamo che 3 lim an = 0 cioe' ∀ε>0 ∃nε∈ℕ∀n≥nε |an| ≤ ε

|an| ≤ ε ⇔ |(−1)ⁿ| ≤ ε ⇔ ¹⁄_n ≤ ε ⇔ n ≥ ¹⁄_ε

nε = ¹⁄_ε + 1

Successioni divergenti

Sia (an)_n successione di nr reali, diremo che la successione (an)_n diverge a +∞ e scriveremo:

7 lim an = +∞ n → +∞

∀M∈ℝ ∃n_M∈ℕ∀n≥n_M an≥M

Quindi an > M

Sia (an)_n " " " diverge a −∞ " " ":

7 lim an =−∞ n → +∞

∀M∈ℝ ∃n_M∈ℕ∀n≥n_M an≤M

Es. lim n² = +∞ n → +∞

Quindi an = n²

an &