Appunti analisi 1: Successioni numeriche e funzioni

Successione numerica

Una successione è una f. definita sui naturali \(\{n \in \mathbb{N} \rightarrow f(n) = c_n \in \mathbb{R}\}\).

L'insieme di una successione è denotato con: \(\{c_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) = \(\{c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n\}\).

Limiti di successioni

Tre tipologie di limiti:

1. \(\lim_{n \to +\infty} c_n = l \in \mathbb{R}\): la successione \(c_n\) è convergente.
2. \(\lim_{n} c_n = +\infty\): la successione \(c_n\) è divergente positivamente.
3. \(\lim_{n} c_n = -\infty\): la successione \(c_n\) è divergente negativamente.

Successione convergente

\(\lim_{n} c_n = l \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \lim_{n} |c_n - l| = 0\).

Definizione: \(\forall \varepsilon > 0 \exists \overline{n} \in \mathbb{N} \forall n \geq \overline{n}, l - \varepsilon\).

Successione divergente positivamente

\(\lim_{n} c_n = +\infty \Leftrightarrow \forall K > 0 \exists K \in \mathbb{N}, n > \overline{n}, c_n > K\).

Successione divergente negativamente

\(\lim_{n} c_n = -\infty \Leftrightarrow \forall K > 0 \exists K \in \mathbb{N}, n > \overline{n}, c_n\).

Successione regolare

Una successione si dice regolare se ammette limite (finito o infinito).

Successione limitata

Una successione si dice limitata se esiste un numero reale \(M\) tale che: \(\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow -M \leq c_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}\).

Teorema

Ogni successione convergente è limitata.

Dimostrazione

\(\lim_{n} c_n = \star \varepsilon \star\) Hp.

\(Th \exists M \geq |c_n - c| \varepsilon \leq 1\), dunque.

Successione numerica

Una successione è una f. definita sui naturali.

I_{n ∈ ℕ} → I(n) = c_n ∈ ℝ.

L'insieme di una successione si denota con: I{c_n}_{n ∈ ℕ} = I{c₁, c₂, c₃... c_n}.

Limiti di successioni

Tre tipologie di limiti:

1. lim_n→+∞ c_n = l ∈ ℝ: la successione c_n è convergente.
2. lim_n→+∞ c_n = +∞: la successione c_n è divergente positivamente.
3. lim_n→+∞ c_n = -∞: la successione c_n è divergente negativamente.

Successione convergente

lim_n c_n = l ∈ ℝ ⇔ lim_n |c_n-l| = 0.

Definizione: ∀ε>0 ∃n ∈ ℕ ∀n_ε l-ε<c_n <l+ε.

Oppure: ∀ε≥0 ∃n ∈ ℕ ∀n_ε |c_n-l| < ε.

Successione divergente positivamente

lim_n c_n = +∞ ⇔ ∀K>0 ∃γ_K: n>γ_K c_n>K.

Successione divergente negativamente

lim_n c_n = -∞ ⇔ ∀K >0 ∃γ_K: n>γ_K c_n<-K.

Successione regolare

Una successione si dice regolare se ammette limite (finito o infinito).

Successione limitata

Una successione si dice limitata se esiste un numero reale M tale che: |c_n| ≤ M, ∀n ∈ ℕ (⇒) -M ≤ |c_n| ≤ M, ∀n ∈ ℕ.

Teorema

Ogni successione convergente è limitata.

Dimostrazione

lim_n c_n = l ¹ ε < d Hp|th l ≤ M|.

Per ipotesi sappiamo che |c_n - ε| < ε ¨ 1, dunque utilizzando le diseguaglianze triangolari otteniamo:

|z_n| - |z| ≤ |z_n - z| ≤ |z_n| + |z| < 1 + |z| ∀n ∈ ℕ (Ipotesi razionale).

Quindi ∀n ∈ ℕ abbiamo |z_n| ≤ M = max {|z₁|, ..., |z_v|, 1 + |z|}.

Teorema

lim z_n = l ∈ ℝ ⇔ lim|z_n| = |z|.

Dimostrazione

∀ε >0 ∃γ ∈ℕ ∀n ∈ γ |z_n - l | < ε per ipotesi.

Utilizzando le proprietà del valore assoluto: |z_n| - |z| | ≤ |z_n - l| < ε, dunque ∀ε >0 ∃γ ∈ γ ∀n ∈ γ, |z_n| - |z| |< ε.

Intorni

Dato l ∈ ℝ si dice I(l) l'insieme è un qualunque intervallo aperto contenente il numero l.

Esempio: l ∈ ℝ, l = +∞, l = -∞.

I(l) = 1 l - ε;; l + ε. I(l) = -∞ l. I(l) = -∞ b.

Definizione generale di limite di una successione

lim x_n = l ∈ ℝ (⇒) ∀I(l) ∃γ: n > γ r c_n ∈ I(l).

l ∈ ℝ (⇒) ∀ε >0 ∃γ ∈ γ ∀ε > γ, c_n ∈ l - ε c_n ∈ I(l).

l = +∞ (⇒) ∀K ∈ ℝ ∃γ ∈ ∀n ∈ n γ_k, c_n ≥ l c_n +∞.

ll = -∞ (⇒) ∀K ∈ ℝ ∃γ ∈ k ∀n ∈ γ, c_n ≤ l -∞, l.

Teorema - Regolarità delle successioni monotone

Se le successione {g_n} è monotone, allora è regolare.

In particolare: se la successione è crescente, allora il suo limite (n→+∞) coincide con il sup x_n: lim x_n =sup.