Successioni numeriche

Successioni numeriche

Una successione {a_n} è una funzione che ad ogni numero naturale associa un numero reale a_n.

{a_n}: n → a_n

Il limite della successione {a_n} è il numero reale a (si dice che a_n converge ad a) e si indica:

lim a_n = a
n → ∞
|a_n - a|

se, qualunque sia ε > 0 ∃ ν ∈ ε : |a_n - a| < ε ∀ n ≥ ν_ε

Dimostrazione del limite

Tramite la definizione dimostriamo che:

lim 1/n = 0
n → ∞

se hai |a_n - α| = |1/n - 0| = 1/n < ε ⇒ n > 1/ε

quindi basta porre ν = 1/ε e si ha che ∀ n ≥ ν lim 1/n = 0
n → ∞

• Se il limite della successione {a_n} è un numero finito allora la successione si dirà convergente (o regolare);
• Se il limite di {a_n} è infinito, allora la a_n si dirà divergente (regolare);
• Se invece tale limite non esiste, allora {a_n} si dirà indeterminato (o irregolare).

lim a_n = +∞
n → ∞ ∀ K > 0 ∃ N = N(K) : ∀ n ≥ N : a_n ≥ K

lim a_n = -∞
n → ∞ ∀ H > 0 ∃ M = M(H) : ∀ n ≥ M : a_n ≤ H

- se lim

Successioni numeriche

Una successione {a_n} è una funzione che ad ogni numero naturale associa un numero reale a_n.

{a_n} : n → a_n
0 → a₀
1 → a₁
...
n → a_n

Il limite della successione {a_n} è il numero reale a (si dice che a_n converge ad a) e si indica:

lim a_n = a
n → ∞
(a_n - a)

se, qualunque sia ε > 0 ∃ γ ε : |a_n - a|

Dimostrazione del limite

Tramite la definizione dimostriamo che:

lim 1/n = 0
n → ∞

si ha: |a_n - a| = |1/n - 0| = 1/n 1/ε

quindi basta porre γ = 1/ε e si ha che ∀ n γ lim 1/n = 0
n → ∞

• Se il limite della successione {a_n} è un numero finito allora la successione si dirà convergente (o regolare);
• Se il limite di {a_n} è infinito, allora {a_n} si dirà divergente (regolare);
• Se invece tale limite non esiste, allora {a_n} si dirà indeterminato (o irregolare).

lim a_n = +∞
n → ∞
∀ K > 0 ∃ N = N(K) : ∀ n ≥ N : a_n > K

lim a_n = -∞
n → ∞
∀ H > 0 ∃ M = M(H) : ∀ n ≥ M : a_n

se lim

Teoremi sulle successioni

• Teorema della permanenza del segno
  se lim a_n = a > 0 (o < 0)
  n → +∞
  allora a_n > 0 definitivamente (o a_n < 0)
  (per n abbastanza grande)
• Ogni successione si dice limitata se ∃M: |a_n| ≤ M
• Teorema del confronto (o dei due carabinieri)
  Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} tre successioni tali che
  a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀ n ∈ N
  se lim a_n = lim c_n = a allora anche b_n è convergente : lim b_n = a
  n → +∞ n → +∞ n → +∞
• Se a_n ≤ b_n definitivamente, e se lim a_n = +∞ allora anche
  n → +∞
  lim b_n = +∞;
  n → +∞
• Analogamente se b_n ≤ c_n e c_n → +∞ allora anche b_n → +∞
• Se {a_n} è una successione limitata e lim b_n ≠ 0, allora la
  n → +∞
  successione prodotto a_nb_n → 0
  n → +∞

Successioni infinitesime (cioè convergenti a zero) o infinite (cioè divergenti) possono essere confrontabili, come si è fatto per le funzioni. Le definizioni sono analoghe.

Si ha anche per le successioni:

ln n << n^b << aⁿ << n ! << nⁿ, b > 0, a ≥ 1