Studio di funzione: [math] f{{\left({x}\right)}}=\frac{{e}^{x}}{{{x}+{k}}}[/math] dopo aver calcolato il valore di k

Verso l’Esame di Stato nel Liceo Scientifico

Problema

Considerata la funzione di espressione analitica e^x = f(x)(x + k), determinare per quale valore della costante k la funzione ha derivata prima nulla nel punto x = -1.

Per il valore trovato si determini il dominio della funzione, studiare i limiti nei punti di frontiera, determinare gli eventuali asintoti, studiare la monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo. Studiare la concavità e rappresentare il diagramma della funzione.

Soluzione

La derivata prima della funzione è

f′(x) = [e^x(x + k) − e^x] / (x + k)² = e^x(x + k − 1) / (x + k)².

Calcolando la derivata prima nel punto x = −1 e annullandola si ha f′(−1) = 0, da cui si deduce che deve essere k = 2.

La funzione ha dunque forma analitica f(x) = e^x / (x + 2).

Dominio e frontiera

La funzione ottenuta è definita nell’insieme A = ℝ \ {−2}; la frontiera è Fr(A) = {−2}.

Limiti

lim_x→+∞ e^x / (x + 2) = +∞; lim_x→−∞ e^x / (x + 2) = 0.

L’asse delle ascisse è asintoto orizzontale per x → −∞; mentre si riconosce facilmente che per x → +∞ f(x) = +∞.

Per x → +∞ non esiste alcun tipo di asintoto. Infatti risulta anche lim_x→+∞ f(x) = +∞.

Ancora si ha lim_x→−2− e^x / (x + 2) = −∞; lim_x→−2+ e^x / (x + 2) = +∞, per cui la retta di equazione x = 2 è asintoto verticale a destra e a sinistra.

Monotonia, massimi e minimi relativi

L’espressione della derivata prima è

f′(x) = e^x(x + 1) / (x + 2)².

La funzione è strettamente crescente per x > −1, strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli ]−∞; −2[; ]−2; −1[. Il punto x = −1 è di minimo relativo proprio.

Concavità

La derivata seconda è:

f″(x) = e^x(x² + 2x + 2) / (x + 2)³.

Si riconosce che è negativa per x < −2, positiva per x > −2. La concavità della curva è rivolta verso il basso per x < −2, verso l’alto per x > −2. Non vi sono flessi. Il diagramma della funzione è riportato a margine.

Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it